A lattice-theoretic framework for hesitant fuzzy convexity beyond scalar observables

Résumé Technique : Un cadre de théorie des treillis pour la convexité floue hésitante au-delà des observables scalaires

Énoncé du problème
Dans la théorie des ensembles flous, le concept de convexité a traditionnellement été formulé à travers des réductions scalaires, utilisant des fonctions de score et des opérateurs d'agrégation pour mapper des degrés d'appartenance complexes (tels que des intervalles ou des éléments flous hésitants) vers l'intervalle unité $[0, 1]$. Bien qu'utiles, les auteurs soutiennent que de telles réductions occultent des informations d'ordre intrinsèques pertinentes contenues dans le codomaine, particulièrement dans les contextes de valeurs d'ensembles (comme les ensembles flous à valeurs d'intervalles [IVFS] et les ensembles flous hésitants [HFS]). Les propositions existantes manquent souvent d'une perspective structurelle unifiée qui rend compte des caractéristiques spécifiques du modèle flou, soulevant la question de savoir si les notions de convexité basées sur des scalaires sont également appropriées pour tous les modèles d'ensembles flous. Le problème central abordé est la perte potentielle de fidélité structurelle lors du remplacement des opérations de treillis intrinsèques par des résumés scalaires.

Méthodologie
Le papier développe un cadre de théorie des treillis pour la convexité sur des applications $A: X \to L$, où $X$ est un espace de convexité abstraite généré par des segments à convexité ponctuelle et $L$ est un treillis. Cette approche sépare délibérément la structure géométrique du domaine de la structure d'ordre du codomaine.

La méthodologie distingue deux perspectives primaires :

1. Perspective Opérationnelle : Définit la convexité via un opérateur binaire $\otimes: L \times L \to L$. Le papier se concentre sur la convexité intrinsèque, où $\otimes$ est la rencontre du treillis ($\wedge$). Une application est intrinsèquement convexe si $A(y) \geq A(x) \wedge A(z)$ pour tout $y$ dans le segment $[x, z]_\Gamma$. Il est démontré que cela est équivalent à la convexité de toutes les coupes principales $[A]_a = \{x \in X : a \leq A(x)\}$.
2. Perspective Relationnelle : Définit la convexité via un préordre $\preceq$ sur $L$. Une application est $\preceq$-convexe si l'image réciproque de chaque ensemble croissant est convexe. Cette catégorie inclut la convexité observable, où le préordre est induit par une application scalaire (observable) $\phi: L \to [0, 1]$.

Le cadre analyse les conditions sous lesquelles les observables scalaires préservent ou reconstruisent la convexité intrinsèque. Il étudie en outre les opérateurs ponctuels $T: L^m \to L$ et caractérise ceux dont les extensions induites préservent la convexité intrinsèque. Enfin, le cadre est spécialisé pour les ensembles flous hésitants (HFS) dotés du treillis symétrique $(P^*([0, 1]), \leq_0, \wedge_0, \vee_0)$, une structure introduite par Jara et al. [2023] qui unifie les ensembles flous standards, les ensembles à valeurs d'intervalles et les ensembles flous hésitants.

Contributions clés et résultats

1. Cadre unifié : Le papier établit un cadre formel commun qui récupère la convexité floue classique basée sur le minimum, la convexité de treillis basée sur la rencontre, et les convexités basées sur l'ordre comme des instances spécifiques. Il généralise ces concepts à des domaines non linéairement ordonnés (par exemple, les géodésiques de graphes) via des espaces de convexité abstraite.

2. Conditions de préservation et de reconstruction scalaires :

   • Préservation : Un observable $\phi$ préserve la convexité intrinsèque (c'est-à-dire que tout ensemble intrinsèquement convexe est $\phi$-convexe) si et seulement si $\phi$ préserve les rencontres finies en tant que minima : $\phi(a \wedge b) = \min\{\phi(a), \phi(b)\}$.
   • Reconstruction : Un unique observable reconstruit la convexité intrinsèque (c'est-à-dire que $A$ est intrinsèquement convexe si et seulement si elle est $\phi$-convexe) si et seulement si $\phi$ préserve les rencontres en tant que minima et reflète l'ordre (c'est-à-dire $\phi(a) \leq \phi(b) \implies a \leq b$). Cela implique que la reconstruction scalaire est impossible pour les treillis qui ne sont pas des chaînes.
   • Familles d'observables : Une famille d'observables reconstruit la convexité intrinsèque si et seulement si la famille sépare l'ordre du codomaine et que chaque membre préserve les rencontres en tant que minima.

3. Opérateurs ponctuels : Le papier caractérise les opérateurs $T: L^m \to L$ qui préservent la convexité intrinsèque sous extension ponctuelle. De tels opérateurs doivent satisfaire une condition de compatibilité avec la rencontre : $T(a_1 \wedge b_1, \dots, a_m \wedge b_m) = T(a_1, \dots, a_m) \wedge T(b_1, \dots, b_m)$. Les auteurs notent que la monotonie seule est insuffisante ; par exemple, la moyenne arithmétique échoue à préserver la convexité basée sur le minimum.

4. Convexité symétrique et non-représentabilité :

   • Lorsqu'il est spécialisé aux HFS avec le treillis symétrique, le cadre récupère la convexité floue classique pour les profils à valeur de singleton et la convexité à valeurs d'intervalles pour les profils à valeurs d'intervalles. Les deux couches inférieures admettent une reconstruction scalaire finie (via l'application identité pour les singletons et les applications de bornes pour les intervalles).
   • Résultat structurel principal : Le papier prouve que l'ordre symétrique sur les éléments flous hésitants ne peut pas être globalement représenté par une famille finie d'observables scalaires. Ceci est démontré en montrant que le treillis symétrique contient des sous-posets finis de dimension d'ordre arbitrairement grande (spécifiquement au sein de la classe des THFEs à deux points).
   • Conséquence : La convexité hésitante symétrique ne peut pas, en général, être reconstruite par toute famille finie d'observables scalaires. De plus, pour toute famille finie d'observables scalaires monotones, il existe un profil hésitant à trois points qui apparaît convexe sous toutes les descriptions scalaires sélectionnées mais qui échoue à être symétriquement convexe.

Signification et affirmations
Le papier affirme fournir une clarification structurelle de la convexité floue, distinguant les propriétés de treillis intrinsèques de leurs approximations scalaires. Sa signification primaire réside dans la démonstration que les résumés scalaires ne sont pas des substituts globalement fidèles de la structure d'ordre sous-jacente dans les contextes flous hésitants.

Les auteurs soutiennent que l'obstacle à la représentation scalaire finie n'est pas un artefact de cardinalités infinies ou de profils complexes, mais apparaît même dans les éléments flous hésitants simples à deux points. Par conséquent, le papier argumente que les descriptions scalaires finies dans la théorie des HFS doivent être comprises comme des résumés partiels plutôt que comme des remplacements complets de la structure hésitante intrinsèque. Cela remet en question le recours aux fonctions de score et aux opérateurs d'agrégation comme seuls moyens de définir la convexité dans les environnements flous hésitants, suggérant que la recherche future doit tenir compte des limites de la scalarisation pour préserver l'information complète d'ordre des ensembles flous hésitants.