A lattice-theoretic framework for hesitant fuzzy convexity beyond scalar observables

Resumo Técnico: Uma Estrutura de Teoria de Reticulados para a Convexidade Fuzzy Hesitante Além de Observáveis Escalares

Problema
Na teoria dos conjuntos fuzzy, o conceito de convexidade tem sido tradicionalmente formulado através de reduções escalares, utilizando funções de pontuação e operadores de agregação para mapear graus de pertinência complexos (como intervalos ou elementos fuzzy hesitantes) para o intervalo unitário $[0, 1]$. Embora úteis, os autores argumentam que tais reduções obscurecem informações de ordem inerentes ao codomínio, particularmente em configurações de valores de conjunto, como Conjuntos Fuzzy de Valores de Intervalo (IVFSs) e Conjuntos Fuzzy Hesitantes (HFSs). As propostas existentes frequentemente carecem de uma perspectiva estrutural unificada que considere as características específicas do modelo fuzzy, levantando a questão de se as noções de convexidade baseadas em escalares são igualmente apropriadas para todos os modelos de conjuntos fuzzy. O problema central abordado é a potencial perda de fidelidade estrutural ao substituir operações intrínsecas de reticulado por resumos escalares.

Metodologia
O artigo desenvolve uma estrutura de teoria de reticulados para convexidade em mapeamentos $A: X \to L$, onde $X$ é um espaço de convexidade abstrata gerado por segmentos ponto-convexos e $L$ é um reticulado. Esta abordagem separa deliberadamente a estrutura geométrica do domínio da estrutura de ordem do codomínio.

A metodologia distingue entre duas perspectivas primárias:

1. Perspectiva Operacional: Define a convexidade via um operador binário $\otimes: L \times L \to L$. O artigo foca na convexidade intrínseca, onde $\otimes$ é o encontro (meet) do reticulado $\wedge$. Um mapeamento é intrinsecamente convexo se $A(y) \geq A(x) \wedge A(z)$ para todo $y$ no segmento $[x, z]_\Gamma$. Isso é mostrado como equivalente à convexidade de todos os cortes principais $[A]_a = \{x \in X : a \leq A(x)\}$.
2. Perspectiva Relacional: Define a convexidade via uma pré-ordem $\preceq$ em $L$. Um mapeamento é $\preceq$-convexo se a imagem inversa de cada conjunto ascendente (up-set) for convexa. Esta categoria inclui a convexidade observável, onde a pré-ordem é induzida por um mapa escalar (observável) $\phi: L \to [0, 1]$.

A estrutura analisa as condições sob as quais observáveis escalares preservam ou reconstroem a convexidade intrínseca. Investiga, adicionalmente, operadores pontuais $T: L^m \to L$ e caracteriza aqueles cujas extensões induzidas preservam a convexidade intrínseca. Por fim, a estrutura é especializada para Conjuntos Fuzzy Hesitantes (HFSs) dotados do reticulado simétrico $(P^*([0, 1]), \leq_0, \wedge_0, \vee_0)$, uma estrutura introduzida por Jara et al. [2023] que unifica conjuntos fuzzy padrão, conjuntos de valores de intervalo e conjuntos fuzzy hesitantes.

Principais Contribuições e Resultados

1. Estrutura Unificada: O artigo estabelece um cenário formal comum que recupera a convexidade fuzzy clássica baseada em mín, a convexidade baseada em encontro de reticulados com valores em reticulado e as convexidades baseadas em ordem como instâncias específicas. Generaliza esses conceitos para domínios ordenados não linearmente (ex: geodésicas de grafos) via espaços de convexidade abstrata.

2. Condições para Preservação e Reconstrução Escalar:

   • Preservação: Um observável $\phi$ preserva a convexidade intrínseca (ou seja, todo conjunto intrinsecamente convexo é $\phi$-convexo) se, e somente se, $\phi$ preserva encontros finitos como mínimos: $\phi(a \wedge b) = \min\{\phi(a), \phi(b)\}$.
   • Reconstrução: Um único observável reconstrói a convexidade intrínseca (ou seja, $A$ é intrinsecamente convexo se, e somente se, é $\phi$-convexo) se, e somente se, $\phi$ preserva encontros como mínimos e reflete a ordem (ou seja, $\phi(a) \leq \phi(b) \implies a \leq b$). Isso implica que a reconstrução escalar é impossível para reticulados que não sejam cadeias.
   • Famílias de Observáveis: Uma família de observáveis reconstrói a convexidade intrínseca se, e somente se, a família separa a ordem do codomínio e cada membro preserva encontros como mínimos.

3. Operadores Pontuais: O artigo caracteriza operadores $T: L^m \to L$ que preservam a convexidade intrínseca sob extensão pontual. Tais operadores devem satisfazer uma condição de compatibilidade de encontro: $T(a_1 \wedge b_1, \dots, a_m \wedge b_m) = T(a_1, \dots, a_m) \wedge T(b_1, \dots, b_m)$. Os autores observam que a monotonicidade sozinha é insuficiente; por exemplo, a média aritmética falha em preservar a convexidade baseada em mín.

4. Convexidade Simétrica e Não Representabilidade:

   • Ao ser especializada para HFSs com o reticulado simétrico, a estrutura recupera a convexidade fuzzy clássica para perfis de valor único e a convexidade de valores de intervalo para perfis de valores de intervalo. Ambas as camadas inferiores admitem reconstrução escalar finita (via o mapa identidade para valores únicos e mapas de extremidade para intervalos).
   • Principal Resultado Estrutural: O artigo prova que a ordem simétrica nos elementos fuzzy hesitantes não pode ser globalmente representada por qualquer família finita de observáveis escalares. Isso é demonstrado mostrando que o reticulado simétrico contém subposetos finitos de arbitrariamente grande dimensão de ordem (especificamente dentro da classe de THFEs de dois pontos).
   • Consequência: A convexidade hesitante simétrica não pode, em geral, ser reconstruída por qualquer família finita de observáveis escalares. Além disso, para qualquer família finita de observáveis escalares monótonos, existe um perfil hesitante de três pontos que parece convexo sob todas as descrições escalares selecionadas, mas que falha em ser simetricamente convexo.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer um esclarecimento estrutural da convexidade fuzzy, distinguindo entre propriedades intrínsecas de reticulado e suas aproximações escalares. Sua principal significância reside em demonstrar que resumos escalares não são substitutos globais fiéis para a estrutura de ordem subjacente em configurações fuzzy hesitantes.

Os autores sustentam que a obstrução à representação escalar finita não é um artefato de cardinalidades infinitas ou perfis complexos, mas aparece mesmo em elementos fuzzy hesitantes simples de dois pontos. Consequentemente, o artigo argumenta que as descrições escalares finitas na teoria HFS devem ser entendidas como resumos parciais, e não como substitutos completos para a estrutura hesitante intrínseca. Isso desafia a dependência de funções de pontuação e operadores de agregação como os únicos meios de definir convexidade em ambientes fuzzy hesitantes, sugerindo que pesquisas futuras devem considerar as limitações da escalação na preservação da totalidade da informação de ordem dos conjuntos fuzzy hesitantes.