Degree-Four Vector-Coordinate SoS Cannot Detect the MUB Upper Bound

Resumen Técnico: El SoS de Coordenadas Vectoriales de Grado Cuatro no puede Detectar el Límite Superior de los MUB

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el Problema Abierto 23 de Randomstrasse101, que pregunta si existe una prueba de Suma de Cuadrados (SoS) de grado cuatro para demostrar que no existen siete bases mutuamente no sesgadas (MUB) en $\mathbb{C}^6$. El problema se enmarca utilizando dos codificaciones específicas de coordenadas vectoriales:

1. Formulación de Igualdad Cuártica: Las restricciones se codifican como relaciones cuárticas sobre las partes reales e imaginarias de los componentes vectoriales, específicamente $|\langle v, w \rangle|^2 = 1/d$.
2. Formulación Semidefinida Hermítica de $2 \times 2$: Las condiciones de bases cruzadas se codifican como restricciones semidefinidas sobre matrices hermíticas de $2 \times 2$ que involucran el producto cuadrático $\langle v, w \rangle$.

El contexto más amplio es el límite superior conocido $m \le d + 1$ para el número de MUBs en dimensión $d$. Mientras que la igualdad se cumple para dimensiones de potencia de números primos, el caso $d=6$ sigue abierto, con la conjetura de que $m=7$ es imposible.

Metodología
Los autores analizan el poder de las relajaciones SoS de grado cuatro construyendo pseudoexpectativas de grado cuatro. Una pseudoexpectativa de grado cuatro es un funcional lineal $\tilde{\mathbb{E}}$ sobre polinomios de grado a lo sumo cuatro que satisface la positividad ($\tilde{\mathbb{E}}[f^2] \ge 0$) y la consistencia con las restricciones. Si tal pseudoexpectativa existe para un sistema, no existe una refutación SoS de grado cuatro (prueba de inviabilidad).

La metodología central consiste en:

1. Construcción Haar-Aleatoria: Los autores definen una pseudoexpectativa basada en la esperanza sobre matrices unitarias independientes de Haar. Específicamente, para $m$ bases en $\mathbb{C}^d$, los vectores se toman como columnas de matrices unitarias independientes de Haar.
2. Verificación de Restricciones:
   • Restricciones de la misma base: La ortonormalidad se cumple punto a punto (exactamente) para la construcción aleatoria.
   • Restricciones de bases cruzadas: Para vectores unitarios de Haar independientes $x, y$, la esperanza es $\mathbb{E}[|\langle x, y \rangle|^2] = 1/d$.
3. Análisis de Multiplicador Afín: Para la formulación semidefinida, los autores prueban un límite específico sobre la norma del operador de multiplicación por el producto interno $z = \langle x, y \rangle$ actuando sobre funciones afines-lineales. Demuestran que $|\mathbb{E}[p z q]| \le \frac{1}{d} \sqrt{\mathbb{E}[|p|^2]\mathbb{E}[|q|^2]}$.
4. Comparación de Formulaciones: El artículo contrasta la formulación de coordenadas vectoriales con una formulación de coordenadas de proyectores donde las variables son proyectores de rango uno $P = vv^*$. En este entorno, la condición de unbiasedness cruzada se convierte en una restricción cuadrática ($\text{Tr}(P_i^{(k)} P_j^{(\ell)}) = 1/d$).

Contribuciones Clave y Resultados

• Límite Inferior para Formulaciones de Coordenadas Vectoriales:
  El resultado principal (Teoremas 5.1 y 7.1) establece que para cualquier dimensión $d$ y cualquier número propuesto de bases $m$, el sistema MUB estándar de coordenadas vectoriales admite una pseudoexpectativa de grado cuatro derivada de bases aleatorias de Haar independientes.

  • Igualdad Cuártica: La pseudoexpectativa satisface las restricciones cuárticas porque el valor esperado del término cuártico $|\langle x, y \rangle|^2 - 1/d$ es cero. Dado que las restricciones son de grado cuatro, una refutación de grado cuatro solo puede multiplicar estos términos por constantes, los cuales la pseudoexpectativa aniquila.
  • Formulación Semidefinida: Utilizando el límite del multiplicador afín (Teorema 6.1), los autores muestran que la pseudoexpectativa satisface las restricciones de localización de grado cuatro para las matrices hermíticas de $2 \times 2$.
  • Consecuencia: El SoS de grado cuatro en estas formulaciones de coordenadas vectoriales no puede refutar la existencia de $m$ MUBs, incluso cuando $m > d + 1$ (donde se sabe o se conjetura que son imposibles). Específicamente, para $d=6, m=7$, no existe una prueba de grado cuatro de no existencia en estas codificaciones.

• Separación de Formulaciones (Proyector vs. Vector):
  El artículo demuestra que este fallo es específico de la codificación de coordenadas vectoriales. En una formulación de coordenadas de proyectores (Teorema 8.1), donde las variables son proyectores centrados $Q = P - I/d$, las restricciones de unbiasedness cruzada son cuadráticas.

  • Los autores construyen una refutación SoS de grado cuatro para el sistema de proyectores siempre que $m > d + 1$.
  • Esta refutación depende de una identidad de la matriz de Gram que involucra la traza de las sumas al cuadrado de los proyectores, lo que produce una constante negativa módulo las restricciones cuando $m > d + 1$.
  • Resultado: El SoS de grado cuatro puede recuperar el límite superior elemental $m \le d + 1$ en la formulación de proyectores.

Significado y Reivindicaciones
El artículo reivindica una separación dependiente de la formulación en el poder de las jerarquías SoS de bajo grado para el problema de los MUB:

1. Respuesta Negativa al Problema Abierto 23: Para las dos codificaciones específicas de coordenadas vectoriales descritas en el planteamiento del problema (ecuaciones cuárticas y LMIs de $2 \times 2$), la respuesta es negativa. El SoS de grado cuatro es intrínsecamente demasiado débil para detectar la obstrucción de conteo básica ($m \le d + 1$).
2. Sensibilidad de la Formulación: La incapacidad de grado cuatro para resolver el problema no es una limitación universal del método, sino una limitación de la relajación directa de coordenadas vectoriales. El mismo grado de relajación es estrictamente más fuerte cuando se aplica a las coordenadas de proyectores, donde recupera con éxito el límite superior conocido.
3. Implicación para $d=6$: Aunque la formulación de proyectores recupera $m \le d + 1$ para $d=6$, el artículo señala que el caso $d=6, m=7$ es el límite "ajustado" de este umbral. Por lo tanto, el resultado de separación no responde definitivamente si una prueba de grado cuatro más fuerte con variables de proyector puede descartar exactamente siete MUBs en $\mathbb{C}^6$, solo que puede descartar ocho o más.

El trabajo aísla una obstrucción específica de grado cuatro para el SoS de coordenadas vectoriales, sugiriendo que cualquier enfoque exitoso de SoS de bajo grado para el problema de los MUB en dimensión seis debe utilizar una formulación elevada (como los proyectores) en lugar de las coordenadas vectoriales directas.