Degree-Four Vector-Coordinate SoS Cannot Detect the MUB Upper Bound

Resumo Técnico: O SoS de Coordenadas Vetoriais de Grau Quatro Não Consegue Detectar o Limite Superior de MUB

Enunciado do Problema
O artigo aborda o Problema Aberto de Randomstrasse101 23, que questiona se existe uma prova de Soma de Quadrados (SoS) de grau quatro para demonstrar que sete bases mutuamente não viesadas (MUBs) não existem em $\mathbb{C}^6$. O problema é formulado utilizando duas codificações específicas de coordenadas vetoriais:

1. Formulação de Igualdade Quartica: As restrições são codificadas como relações quárticas nas partes reais e imaginárias dos componentes vetoriais, especificamente $|\langle v, w \rangle|^2 = 1/d$.
2. Formulação Semidefinida Hermitiana $2 \times 2$: As condições de bases cruzadas são codificadas como restrições semidefinidas em matrizes hermitianas $2 \times 2$ envolvendo o produto interno quadrático $\langle v, w \rangle$.

O contexto mais amplo envolve o limite superior conhecido $m \le d + 1$ para o número de MUBs em dimensão $d$. Embora a igualdade ocorra em dimensões de potência de números primos, o caso $d=6$ permanece em aberto, com a conjectura de que $m=7$ é impossível.

Metodologia
Os autores analisam o poder das relaxações SoS de grau quatro construindo pseudoexpectativas de grau quatro. Uma pseudoexpectativa de grau quatro é um funcional linear $\tilde{\mathbb{E}}$ sobre polinômios de grau no máximo quatro que satisfaz a positividade ($\tilde{\mathbb{E}}[f^2] \ge 0$) e a consistência com as restrições. Se tal pseudoexpectativa existir para um sistema, nenhuma refutação SoS de grau quatro (prova de inviabilidade) existe.

A metodologia central envolve:

1. Construção Haar-Aleatória: Os autores definem uma pseudoexpectativa baseada na expectativa sobre matrizes unitárias independentes de Haar. Especificamente, para $m$ bases em $\mathbb{C}^d$, os vetores são tomados como colunas de matrizes unitárias independentes e aleatórias.
2. Verificação de Restrições:
   • Restrições da mesma base: A ortonormalidade ocorre pontualmente (exatamente) para a construção aleatória.
   • Restrições de bases cruzadas: Para vetores unitários independentes de Haar $x, y$, a expectativa é $\mathbb{E}[|\langle x, y \rangle|^2] = 1/d$.
3. Análise de Multiplicador Afim: Para a formulação semidefinida, os autores provam um limite específico para a norma do operador de multiplicação pelo produto interno $z = \langle x, y \rangle$ atuando sobre funções afins-lineares. Eles mostram que $|\mathbb{E}[p z q]| \le \frac{1}{d} \sqrt{\mathbb{E}[|p|^2]\mathbb{E}[|q|^2]}$.
4. Comparação de Formulações: O artigo contrasta a formulação de coordenadas vetoriais com uma formulação de coordenadas de projetores, onde as variáveis são projetores de posto um $P = vv^*$. Nesta configuração, a condição de não-viesamento cruzado torna-se quadrática ($\text{Tr}(P_i^{(k)} P_j^{(\ell)}) = 1/d$).

Contribuições Principais e Resultados

• Limite Inferior para Formulações de Coordenadas Vetoriais:
  O resultado principal (Teoremas 5.1 e 7.1) estabelece que, para qualquer dimensão $d$ e qualquer número proposto de bases $m$, o sistema MUB padrão de coordenadas vetoriais admite uma pseudoexpectativa de grau quatro derivada de bases independentes de Haar.

  • Igualdade Quártica: A pseudoexpectativa satisfaz as restrições quárticas porque o valor esperado do termo quártico $|\langle x, y \rangle|^2 - 1/d$ é zero. Como as restrições são de grau quatro, uma refutação de grau quatro pode apenas multiplicar esses termos por constantes, as quais a pseudoexpectativa aniquila.
  • Formulação Semidefinida: Usando o limite do multiplicador afim (Teorema 6.1), os autores mostram que a pseudoexpectativa satisfaz as restrições de localização de grau quatro para as matrizes hermitianas $2 \times 2$.
  • Consequência: O SoS de grau quatro nessas formulações de coordenadas vetoriais não consegue refutar a existência de $m$ MUBs, mesmo quando $m > d + 1$ (onde MUBs são conhecidos ou conjecturados como impossíveis). Especificamente, para $d=6, m=7$, nenhuma prova de não-existência SoS de grau quatro existe nessas codificações.

• Separação de Formulações (Projetor vs. Vetor):
  O artigo demonstra que essa falha é específica da codificação de coordenadas vetoriais. Em uma formulação de coordenadas de projetor (Teorema 8.1), onde as variáveis são projetores centrados $Q = P - I/d$, as restrições de não-viesamento cruzado são quadráticas.

  • Os autores constroem uma refutação SoS de grau quatro para o sistema de projetores sempre que $m > d + 1$.
  • Esta refutação baseia-se em uma identidade de matriz de Gram envolvendo o traço de somas quadradas de projetores, o que resulta em uma constante negativa módulo as restrições quando $m > d + 1$.
  • Resultado: O SoS de grau quatro consegue recuperar o limite superior elementar $m \le d + 1$ na formulação de projetores.

Significância e Alegações
O artigo reivindica uma separação dependente da formulação no poder das hierarquias SoS de baixo grau para o problema MUB:

1. Resposta Negativa ao Problema Aberto 23: Para as duas formulações de coordenadas vetoriais específicas descritas no enunciado do problema (equações quárticas e LMIs $2 \times 2$), a resposta é negativa. O SoS de grau quatro é intrinsecamente fraco demais para detectar a obstrução básica de contagem ($m \le d + 1$).
2. Sensibilidade à Formulação: A incapacidade de o SoS de grau quatro resolver o problema não é uma limitação universal do método, mas uma limitação da relaxação direta de coordenadas vetoriais. O mesmo grau de relaxação é estritamente mais forte quando aplicado a coordenadas de projetores, onde ele recupera com sucesso o limite superior conhecido.
3. Implicação para $d=6$: Embora a formulação de projetores recupere $m \le d + 1$ para $d=6$, o artigo observa que o caso $d=6, m=7$ é o limite "justo" desta fronteira. Portanto, o resultado de separação não responde definitivamente se uma prova de grau quatro mais forte de variáveis de projetor pode excluir exatamente sete MUBs em $\mathbb{C}^6$, apenas que pode excluir oito ou mais.

O trabalho isola uma obstrução específica de grau quatro para o SoS de coordenadas vetoriais, sugerindo que qualquer abordagem bem-sucedida de SoS de baixo grau para o problema MUB de dimensão seis deve utilizar uma formulação levantada (como projetores) em vez das coordenadas vetoriais diretas.