On a necessary condition for removing singularities of solutions of nonlinear elliptic inequalities

Resumen Técnico: Sobre una condición necesaria para la eliminación de singularidades de soluciones de desigualdades elípticas no lineales

Planteamiento del problema
El artículo investiga la removibilidad de las singularidades para soluciones de desigualdades diferenciales elípticas no lineales de la forma:
$$\Delta^{m/2} u \geq f(x)g(u)$$
definidas en la bola unitaria perforada $B_1 \setminus \{0\} \subset \mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$), donde $m \geq 2$ es un entero par. Las funciones $f$ y $g$ satisfacen condiciones específicas de regularidad y crecimiento: $f \in L^\infty_{loc}(B_1 \setminus \{0\})$ y $g: [0, \infty) \to [0, \infty)$ es no decreciente con $g(0)=0$ y $g(\zeta) > 0$ para $\zeta > 0$.

Una singularidad en el origen se define como removible si la solución $u$ y el término $f(x)g(|u|)$ pertenecen a $L^1(B_1)$, permitiendo que la desigualdad se cumpla en el sentido distributivo sobre toda la bola $B_1$. El objetivo central es establecer una condición necesaria sobre la no linealidad $g$ tal que cualquier solución de la desigualdad posea una singularidad removible en cero.

Metodología
Los autores emplean un enfoque constructivo para demostrar que, si una condición integral específica sobre $g$ falla, debe existir una singularidad no removible. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Reducción a ODEs radiales: El problema se reduce de una desigualdad diferencial parcial a una desigualdad diferencial ordinaria radial. Utilizando las propiedades del Laplaciano en coordenadas polares, los autores construyen una solución radial $u(x) = w(|x|)$ que satisface la desigualdad si $w$ satisface un problema radial relacionado con el operador $\left(\frac{1}{r^{n-1}}\left(r^{n-1}\frac{d}{dr}\right)\right)^{m/2}$.
2. Punto fijo y construcción iterativa: La prueba se basa en el Teorema 2.2, que afirma la existencia de una solución positiva y decreciente para una desigualdad radial específica en el intervalo $(0, 1]$. Esto se logra mediante:
   • La definición de una secuencia de operadores integrales $A_i$ que actúan sobre funciones continuas.
   • El establecimiento de estimaciones a priori e desigualdades (por ejemplo, ecuaciones 2.4–2.11) para controlar el crecimiento y la decaimiento de dichos operadores.
   • El uso del teorema del punto fijo de Bohl–Brouwer para encontrar un punto fijo $w_0$ en un subintervalo $[r_0, 1]$.
   • La extensión de esta solución al intervalo $(0, r_0]$ resolviendo un problema de Cauchy que involucra la inversa de la no linealidad $g^{-1/m}$.
3. Argumento de divergencia: El núcleo del argumento reside en el comportamiento de la integral $\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta$. Si esta integral diverge, la solución construida $w(r)$ crece lo suficientemente rápido cuando $r \to 0$ como para que $u(x) \notin L^1(B_1)$, demostrando así que la singularidad no es removible.

Contribuciones y resultados clave
El resultado principal es el Teorema 2.1, que establece:
Si $g: (0, \infty) \to (0, \infty)$ es una función continua no decreciente que satisface la condición de divergencia:
$$\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta = \infty,$$
entonces la desigualdad $\Delta^{m/2} u \geq f(x)g(u)$ admite una solución positiva con una singularidad no removible en cero para cualquier $f \in L^\infty_{loc}(B_1 \setminus \{0\})$.

Consecuentemente, la condición:
$$\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta < \infty$$
se establece como una condición necesaria para la removibilidad de las singularidades para cualquier solución de la desigualdad.

El artículo contextualiza este resultado relacionándolo con condiciones conocidas:

• Para $m=2$, la condición es equivalente a la bien conocida condición de explosión de Keller–Osserman.
• El resultado generaliza hallazgos previos para no linealidades de tipo potencia (por ejemplo, $\Delta u \geq |x|^s u^\lambda$) y no linealidades logarítmicas, recuperando exponentes críticos exactos como la condición de Brezis–Véron.

Significado y afirmaciones
Los autores afirman que, si bien la condición integral (1.3) (o su generalización para $m>2$) no es suficiente para garantizar la removibilidad (ya que no tiene en cuenta el comportamiento de $f$ cerca de cero o posibles restricciones de crecimiento en casos lineales), es estrictamente necesaria.

El artículo sostiene que si esta condición integral se viola, sin importar cuán "pequeña" o bien comportada sea la función coeficiente $f$ (siempre que esté localmente acotada lejos de cero), siempre se puede construir una solución que explote en el origen de tal manera que impida que la singularidad sea removible. Esto proporciona un límite nítido para la clase de no linealidades $g$ que permiten la eliminación de singularidades en el contexto de desigualdades elípticas de orden superior. El trabajo clarifica el umbral exacto entre singularidades removibles y no removibles, independientemente de la elección específica del término de forzamiento $f$.