On a necessary condition for removing singularities of solutions of nonlinear elliptic inequalities

Résumé technique : Sur une condition nécessaire pour la suppression des singularités des solutions d'inégalités elliptiques non linéaires

Énoncé du problème
L'article étudie la suppressibilité des singularités pour les solutions d'inégalités différentielles elliptiques non linéaires de la forme :
$$\Delta^{m/2} u \geq f(x)g(u)$$
définies dans la boule unité ponctuée $B_1 \setminus \{0\} \subset \mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$), où $m \geq 2$ est un entier pair. Les fonctions $f$ et $g$ satisfont des conditions de régularité et de croissance spécifiques : $f \in L^\infty_{loc}(B_1 \setminus \{0\})$ et $g: [0, \infty) \to [0, \infty)$ est une fonction croissante telle que $g(0)=0$ et $g(\zeta) > 0$ pour $\zeta > 0$.

Une singularité à l'origine est définie comme supprimable si la solution $u$ et le terme $f(x)g(|u|)$ appartiennent à $L^1(B_1)$, permettant ainsi à l'inégalité de vérifier la définition au sens distributionnel sur l'ensemble de la boule $B_1$. L'objectif central est d'établir une condition nécessaire sur la non-linéarité $g$ telle que toute solution de l'inégalité possède une singularité supprimable en zéro.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche constructive pour prouver que si une condition intégrale spécifique sur $g$ échoue, une singularité non supprimable doit exister. La méthodologie procède comme suit :

1. Réduction aux ODE radiales : Le problème est réduit de l'inégalité différentielle aux dérivées partielles à une inégalité différentielle ordinaire radiale. En utilisant les propriétés du Laplacien en coordonnées polaires, les auteurs construisent une solution radiale $u(x) = w(|x|)$ qui satisfait l'inégalité si $w$ satisfait un problème radial lié à l'opérateur $\left(\frac{1}{r^{n-1}}\left(r^{n-1}\frac{d}{dr}\right)\right)^{m/2}$.
2. Point fixe et construction itérative : La preuve repose sur le Théorème 2.2, qui affirme l'existence d'une solution positive et décroissante d'une inégalité radiale spécifique sur l'intervalle $(0, 1]$. Ceci est réalisé par :
   • La définition d'une suite d'opérateurs intégraux $A_i$ agissant sur des fonctions continues.
   • L'établissement d'estimations a priori et d'inégalités (par exemple, équations 2.4–2.11) pour contrôler la croissance et la décroissance de ces opérateurs.
   • L'utilisation du théorème du point fixe de Bohl–Brouwer pour trouver un point fixe $w_0$ sur un sous-intervalle $[r_0, 1]$.
   • L'extension de cette solution à $(0, r_0]$ en résolvant un problème de Cauchy impliquant l'inverse de la non-linéarité $g^{-1/m}$.
3. Argument de divergence : Le cœur de l'argument repose sur le comportement de l'intégrale $\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta$. Si cette intégrale diverge, la solution $w(r)$ construite croît suffisamment vite lorsque $r \to 0$ de telle sorte que $u(x) \notin L^1(B_1)$, prouvant ainsi que la singularité n'est pas supprimable.

Contributions clés et résultats
Le résultat principal est le Théorème 2.1, qui stipule :
Si $g: (0, \infty) \to (0, \infty)$ est une fonction continue non décroissante satisfaisant la condition de divergence :
$$\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta = \infty,$$
alors l'inégalité $\Delta^{m/2} u \geq f(x)g(u)$ admet une solution positive présentant une singularité non supprimable en zéro pour toute fonction $f \in L^\infty_{loc}(B_1 \setminus \{0\})$.

Par conséquent, la condition :
$$\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta < \infty$$
est établie comme une condition nécessaire pour la suppressibilité des singularités pour toute solution de l'inégalité.

L'article contextualise ce résultat en le reliant à des conditions connues :

• Pour $m=2$, la condition est équivalente à la célèbre condition de blow-up de Keller–Osserman.
• Le résultat généralise des travaux antérieurs sur les non-linéarités de type puissance (ex: $\Delta u \geq |x|^s u^\lambda$) et les non-linéarités logarithmiques, retrouvant des exposants critiques exacts tels que la condition de Brezis–Véron.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que bien que la condition intégrale (1.3) (ou sa généralisation pour $m>2$) ne soit pas suffisante pour garantir la suppressibilité (car elle ne rend pas compte du comportement de $f$ près de zéro ou des potentielles restrictions de croissance dans les cas linéaires), elle est strictement nécessaire.

L'article soutient que si cette condition intégrale est violée, peu importe à quel point la fonction de coefficient $f$ est "petite" ou bien élevée (à condition qu'elle soit localement bornée loin de zéro), on peut toujours construire une solution qui explose à l'origine de manière à empêcher que la singularité ne soit supprimable. Cela fournit une frontière nette pour la classe de non-linéarités $g$ qui permettent la suppression des singularités dans le contexte des inégalités elliptiques d'ordre supérieur. Le travail clarifie le seuil exact entre singularités supprimables et non supprimables, indépendamment du choix spécifique du terme de forçage $f$.