On a necessary condition for removing singularities of solutions of nonlinear elliptic inequalities

Resumo Técnico: Sobre uma Condição Necessária para a Remoção de Singularidades de Soluções de Desigualdades Elípticas Não Lineares

Enunciado do Problema
O artigo investiga a removibilidade de singularidades para soluções de desigualdades diferenciais elípticas não lineares da forma:
$$\Delta^{m/2} u \geq f(x)g(u)$$
definidas na bola unitária pontuada $B_1 \setminus \{0\} \subset \mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$), onde $m \geq 2$ é um inteiro par. As funções $f$ e $g$ satisfazem condições específicas de regularidade e crescimento: $f \in L^\infty_{loc}(B_1 \setminus \{0\})$ e $g: [0, \infty) \to [0, \infty)$ é não decrescente com $g(\zeta) > 0$ para $\zeta > 0$ e $g(0)=0$.

Uma singularidade na origem é definida como removível se a solução $u$ e o termo $f(x)g(|u|)$ pertencem a $L^1(B_1)$, permitindo que a desigualdade seja válida no sentido distributivo em toda a bola $B_1$. O objetivo central é estabelecer uma condição necessária sobre a não linearidade $g$ tal que qualquer solução da desigualdade possua uma singularidade removível no zero.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem construtiva para provar que, se uma condição integral específica sobre $g$ falhar, uma singularidade não removível deve existir. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Redução para EDOs Radiais: O problema é reduzido de uma desigualdade diferencial parcial para uma desigualdade diferencial ordinária radial. Utilizando as propriedades do Laplaciano em coordenadas polares, os autores constroem uma solução radial $u(x) = w(|x|)$ que satisfaz a desigualdade se $w$ satisfizer uma desigualdade radial relacionada envolvendo o operador $\left(\frac{1}{r^{n-1}}\left(r^{n-1}\frac{d}{dr}\right)\right)^{m/2}$.
2. Ponto Fixo e Construção Iterativa: A prova baseia-se no Teorema 2.2, que afirma a existência de uma solução positiva e decrescente para uma desigualdade radial específica no intervalo $(0, 1]$. Isso é alcançado através de:
   • Definição de uma sequência de operadores integrais $A_i$ atuando sobre funções contínuas.
   • Estabelecimento de estimativas e desigualdades a priori (por exemplo, equações 2.4–2.11) para controlar o crescimento e o decaimento desses operadores.
   • Utilização do teorema do ponto fixo de Bohl–Brouwer para encontrar um ponto fixo $w_0$ em um subintervalo $[r_0, 1]$.
   • Extensão desta solução para $(0, r_0]$ resolvendo um problema de Cauchy envolvendo a inversa da não linearidade $g^{-1/m}$.
3. Argumento de Divergência: O cerne do argumento reside no comportamento do integral $\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta$. Se este integral divergir, a solução construída $w(r)$ cresce suficientemente rápido conforme $r \to 0$ de modo que $u(x) \notin L^1(B_1)$, provando assim que a singularidade é não removível.

Principais Contribuições e Resultados
O principal resultado é o Teorema 2.1, que afirma:
Se $g: (0, \infty) \to (0, \infty)$ é uma função contínua não decrescente satisfazendo a condição de divergência:
$$\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta = \infty,$$
então a desigualdade $\Delta^{m/2} u \geq f(x)g(u)$ admite uma solução positiva com uma singularidade não removível no zero para qualquer $f \in L^\infty_{loc}(B_1 \setminus \{0\})$.

Consequentemente, a condição:
$$\int_1^\infty g^{-1/m}(\zeta)\zeta^{1/m-1} d\zeta < \infty$$
é estabelecida como uma condição necessária para a removibilidade de singularidades para qualquer solução da desigualdade.

O artigo contextualiza este resultado relacionando-o a condições conhecidas:

• Para $m=2$, a condição é equivalente à bem conhecida condição de blow-up de Keller–Osserman.
• O resultado generaliza descobertas anteriores para não linearidades do tipo potência (ex: $\Delta u \geq |x|^s u^\lambda$) e não linearidades logarítmicas, recuperando expoentes críticos exatos como a condição de Brezis–Véron.

Significância e Alegações
Os autores alegam que, embora a condição integral (1.3) (ou sua generalização para $m>2$) não seja suficiente para garantir a removibilidade (pois não leva em conta o comportamento de $f$ próximo ao zero ou potenciais restrições de crescimento em casos lineares), ela é estritamente necessária.

O artigo afirma que, se esta condição integral for violada, não importa quão "pequena" ou bem comportada seja a função de coeficiente $f$ (desde que seja localmente limitada inferiormente por um valor positivo), sempre será possível construir uma solução que exploda na origem de uma forma que impeça a remoção da singularidade. Isso fornece uma fronteira nítida para a classe de não linearidades $g$ que permitem a remoção de singularidades no contexto de desigualdades elípticas de ordem superior. O trabalho clarifica o limiar exato entre singularidades removíveis e não removíveis, independente da escolha específica do termo de força $f$.