Dual Affine Spiral Orbits on $\mathbb{Z}^2$ Generated by Paired Unit Squares

Resumen Técnico: Órbitas Espirales Afines Duales en $\mathbb{Z}^2$ Generadas por Cuadrados Unitarios Emparejados

Planteamiento del Problema
El artículo investiga una construcción geométrica en la red entera $\mathbb{Z}^2$ que involucra cuadrados unitarios emparejados que comparten un único vértice. El problema central es caracterizar el proceso iterativo donde se construyen nuevos cuadrados hacia el exterior sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles formado por los bordes exteriores adyacentes al vértice compartido. El autor busca determinar la estructura algebraica de las secuencias de puntos de red resultantes, sus simetrías y su relación con geometrías fractales conocidas cuando la iteración se extiende tanto en dirección hacia adelante como hacia atrás.

Metodología
El estudio emplea una combinación de geometría euclidiana elemental, álgebra lineal y análisis complejo (específicamente, enteros gaussianos).

1. Construcción Geométrica: El proceso comienza con dos cuadrados unitarios que comparten un vértice en $P_0 = (0,0)$. En cada paso $n$, se construye un nuevo cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo formado por los bordes exteriores del par anterior. Esto genera dos secuencias distintas de puntos: una órbita "positiva" $\{P_n\}$ y una órbita "negativa" $\{N_n\}$.
2. Formulación Algebraica: Las transformaciones geométricas se codifican mediante recurrencias afines. El autor identifica la red entera $\mathbb{Z}^2$ con el plano complejo $\mathbb{C}$, mapeando la matriz de transformación a la multiplicación por el entero gaussiano $1+i$.
3. Derivación de Forma Cerrada: Al resolver las recurrencias lineales, el autor deriva expresiones de forma cerrada para $P_n$ y $N_n$ en términos de potencias de $(1+i)$.
4. Análisis del Sistema de Funciones Iteradas (IFS): La iteración se extiende hacia atrás ($n < 0$) invirtiendo los mapas afines. Los mapas inversos resultantes se analizan como contracciones para identificar su atractor y compararlo con el fractal del Dragón Gemelo (Twindragon).

Contribuciones Clave y Resultados

• Órbitas Espirales Duales: La construcción genera dos órbitas espirales afines entrelazadas en $\mathbb{Z}^2$.

  • La órbita positiva comienza en $P_0 = (0,0)$ y satisface la recurrenencia afín $P_{n+1} = (1+i)P_n + (2+i)$.
  • La órbita negativa comienza en $N_0 = (-1, 2)$ y satisface la recurrencia lineal $N_{n+1} = (1+i)N_n$.
  • Ambas secuencias permanecen estrictamente en la red entera indefinidamente.

• Simetría e Invariantes:

  • Punto Medio Fijo: Las órbitas son simétricas con respecto a un punto no perteneciente a la red $M = (-1/2, 1)$. Para todo $n$, el invariante $P_n + N_n = (-1, 2)$ se cumple, lo que significa que $N_n$ es la reflexión puntual de $P_n$ a través de $M$.
  • Interpretación Geométrica: Los puntos $P_n$ y $N_n$ muestrean espirales logarítmicas centradas en $N_0$ y $P_0$ respectivamente, con un factor de escala de $\sqrt{2}$ y una rotación de $\pi/4$ por paso.

• Nueva Secuencia Entera: El artículo define una secuencia entera normalizada $a(n)$ derivada de las normas euclidianas al cuadrado de los puntos de la órbita:
  $$a(n) = \frac{|P_n|^2 + |N_n|^2}{5} = 2^{n+1} + 1 - 2\text{Re}((1+i)^n)$$
  El autor demuestra que $a(n)$ es siempre un entero. Esta secuencia corresponde a OEIS A396151 y satisface una recurrencia lineal específica de orden 4. Geométricamente, $a(n)$ representa un reescalado afín de la distancia al cuadrado desde los puntos de la órbita hacia el centro de simetría $M$.

• Conexión con el Fractal del Dragón Gemelo (Twindragon):

  • Cuando la iteración se extiende hacia atrás ($n \to -\infty$), los mapas inversos $T^{-1}$ y $S^{-1}$ forman un Sistema de Funciones Iteradas (IFS).
  • Estos mapas son similitudes con una razón de contracción de $1/\sqrt{2}$ y una rotación de $-\pi/4$.
  • Se demuestra que el atractor de este IFS es similar al fractal del Dragón Gemelo, un teselado autoafín asociado con la base $1+i$ en los enteros gaussianos.
  • A diferencia de las órbitas hacia adelante que espiralan hacia afuera, las órbitas hacia atrás espiralan hacia adentro hacia los puntos fijos de los mapas inversos ($P_0$ y $N_0$), acumulándose en el atractor del Dragón Gemelo. El punto medio $M$ sirve como el centro de simetría para este atractor.

Significado y Reivindicaciones
El artículo sostiene que esta construcción geométrica elemental en papel milimetrado proporciona una perspectiva concreta, basada en la red, de la dinámica del fractal del Dragón Gemelo.

• Novedad: La construcción de emparejamiento específica, las órbitas espirales duales resultantes y la secuencia entera $a(n)$ (OEIS A396151) se presentan como nuevas contribuciones.
• Síntesis: El trabajo une la geometría elemental con la teoría de números algebraicos y la geometría fractal. Demuestra cómo una regla iterativa simple en $\mathbb{Z}^2$ conduce naturalmente a la estructura de teselado autoafín del Dragón Gemelo.
• Modestia: El autor no pretende resolver problemas abiertos en geometría fractal, sino que ofrece una "perspectiva visual de red" que re-deriva el atractor clásico del Dragón Gemelo desde un punto de partida elemental. El artículo sugiere que tales orígenes geométicos simples pueden implicar una estructura subyacente más rica que involucre la teoría de números algebraicos de lo que parece inicialmente.