Dual Affine Spiral Orbits on $\mathbb{Z}^2$ Generated by Paired Unit Squares

Résumé Technique : Orbites Spirales Affines Doubles sur $\mathbb{Z}^2$ Générées par des Carrés Unitaires Appariés

Énoncé du Problème
L'article étudie une construction géométrique sur le réseau entier $\mathbb{Z}^2$ impliquant des carrés unitaires appariés qui partagent un sommet commun. Le problème central est de caractériser le processus itératif où de nouveaux carrés sont construits vers l'extérieur sur l'hypoténuse du triangle rectangle isocèle formé par les bords extérieurs adjacents au sommet partagé. L'auteur cherche à déterminer la structure algébrique des séquences de points du réseau qui en résultent, leurs symétries, et leur relation avec des géométries fractales connues lorsque l'itération est étendue dans les directions forward (vers l'avant) et backward (vers l'arrière).

Méthodologie
L'étude emploie une combinaison de géométrie euclidienne élémentaire, d'algèbre linéaire et d'analyse complexe (spécifiquement les entiers de Gauss).

1. Construction Géométrique : Le processus commence avec deux carrés unitaires partageant un sommet en $P_0 = (0,0)$. À chaque étape $n$, un nouveau carré est construit sur l'hypoténuse du triangle formé par les bords extérieurs de la paire précédente. Cela génère deux séquences de points distinctes : une orbite « positive » $\{P_n\}$ et une orbite « négative » $\{N_n\}$.
2. Formulation Algébrique : Les transformations géométriques sont encodées par des récurrences affines. L'auteur identifie le réseau entier $\mathbb{Z}^2$ avec le plan complexe $\mathbb{C}$, en faisant correspondre la matrice de transformation à la multiplication par l'entier de Gauss $1+i$.
3. Dérivation de Forme Fermée : En résolvant les récurrences linéaires, l'auteur dérive des expressions de forme fermée pour $P_n$ et $N_n$ en termes de puissances de $(1+i)$.
4. Analyse du Système de Fonctions Itérées (IFS) : L'itération est étendue vers l'arrière ($n < 0$) en inversant les applications affines. Les applications inverses résultantes sont analysées comme des contractions pour identifier leur attracteur et le comparer au fractal du Dragon Jumelé (Twindragon).

Contributions Clés et Résultats

• Orbites Spirales Doubles : La construction génère deux orbites spirales affines imbriquées sur $\mathbb{Z}^2$.

  • L'orbite positive commence à $P_0 = (0,0)$ et satisfait la récurrence affine $P_{n+1} = (1+i)P_n + (2+i)$.
  • L'orbite négative commence à $N_0 = (-1, 2)$ et satisfait la récurrence linéaire $N_{n+1} = (1+i)N_n$.
  • Les deux séquences restent strictement sur le réseau entier indéfiniment.

• Symétrie et Invariants :

  • Point Médian Fixe : Les orbites sont symétriques par rapport à un point non appartenant au réseau $M = (-1/2, 1)$. Pour tout $n$, l'invariant $P_n + N_n = (-1, 2)$ est vérifié, ce qui signifie que $N_n$ est le point de réflexion de $P_n$ par rapport à $M$.
  • Interprétation Géométrique : Les points $P_n$ et $N_n$ échantillonnent des spirales logarithmiques centrées en $N_0$ et $P_0$ respectivement, avec un facteur d'échelle de $\sqrt{2}$ et une rotation de $\pi/4$ par étape.

• Nouvelle Séquence Entière : L'article définit une séquence entière normalisée $a(n)$ dérivée des normes euclidiennes au carré des points de l'orbite :
  $$a(n) = \frac{|P_n|^2 + |N_n|^2}{5} = 2^{n+1} + 1 - 2\text{Re}((1+i)^n)$$
  L'auteur prouve que $a(n)$ est toujours un entier. Cette séquence correspond à l'OEIS A396151 et satisfait une récurrence linéaire spécifique d'ordre 4. Géométriquement, $a(n)$ représente une mise à l'échelle affine de la distance au carré par rapport au centre de symétrie $M$.

• Connexion avec le Fractal du Dragon Jumelé (Twindragon) :

  • Lorsque l'itération est étendue vers l'arrière ($n \to -\infty$), les applications inverses $T^{-1}$ et $S^{-1}$ forment un Système de Fonctions Itérées (IFS).
  • Ces applications sont des similitudes avec un rapport de contraction de $1/\sqrt{2}$ et une rotation de $-\pi/4$.
  • Il est démontré que l'attracteur de cet IFS est similaire au fractal du Dragon Jumelé, un carreau auto-affine associé à la base $1+i$ dans les entiers de Gauss.
  • Contrairement aux orbites directes qui spiralent vers l'extérieur, les orbites inverses spiralent vers l'intérieur vers les points fixes des applications inverses ($P_0$ et $N_0$), s'accumulant sur l'attracteur du Dragon Jumelé. Le point milieu $M$ sert de centre de symétrie pour cet attracteur.

Signification et Revendications
L'article affirme que cette construction géométrique élémentaire sur du papier millimétré fournit un point de vue concret, basé sur un réseau, sur la dynamique du fractal du Dragon Jumelé.

• Nouveauté : La construction spécifique par appariement, les orbites spirales doubles résultantes, et la séquence entière $a(n)$ (OEIS A396151) sont présentées comme de nouvelles contributions.
• Synthèse : Le travail fait le pont entre la géométrie élémentaire et la théorie algébrique des nombres ainsi que la géométrie fractale. Il démontre comment une règle itérative simple sur $\mathbb{Z}^2$ mène naturellement à la structure de carreau auto-affine du Dragon Jumelé.
• Modestie : L'auteur ne prétend pas résoudre de problèmes ouverts en géométrie fractale, mais propose plutôt un « point de vue visuel sur le réseau » qui redérive l'attracteur classique du Dragon Jumelé à partir d'un point de départ élémentaire. L'article suggère que de telles origines géométriques simples peuvent impliquer une structure sous-jacente plus riche impliquant la théorie algébrique des nombres qu'il n'y paraît initialement.