An extension of a critical Hardy--Rellich inequality: explicit constants and the sharp weight range

Resumen Técnico: Una Extensión de una Desigualdad Crítica de Hardy–Rellich

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda las desigualdades críticas de Hardy–Rellich establecidas recientemente por Castro [1], centrándose específicamente en el caso donde el exponente $p$ es igual a la dimensión $N$ ($p=N$). Mientras que las desigualdades clásicas de Hardy y Rellich fallan en el extremo $p=N$ sin correcciones logarítmicas, Castro demostró una desigualdad crítica que involucra la cantidad $\nabla(u/|x|)$ y la Hessiana o el Laplaciano de $u$. Sin embargo, dos limitaciones significativas permanecieron en los resultados de Castro:

1. Los constantes derivadas no fueron explícitas.
2. El rango del exponente de peso $a$ en las desigualdades ponderadas estaba restringido a $a < 1$, lo cual los autores identifican como alejado de lo óptimo.

El problema abierto central abordado es la determinación de las constantes óptimas y el rango agudo del exponente de peso $a$ para los cuales estas desigualdades se cumplen, particularmente para el caso $p=N$.

Metodología
Los autores reformulan el problema utilizando la transformación de Emden–Fowler, introduciendo la variable $t = \log r$ (donde $r = |x|$). Esta transformación permite que los componentes radiales y angulares de la desigualdad sean analizados a través de una única y clásica desigualdad de Hardy ponderada unidimensional.

Pasos metodológicos clave incluyen:

• Descomposición: El gradiente $\nabla(u/|x|)$ se descompone en componentes radiales y tangenciales (esféricos). Los autores utilizan cotas puntuales que relacionan estos componentes con la Hessiana $|D^2u|$.
• Reducción Unidimensional: Al establecer $f(t) = \phi(e^t)$, el problema se reduce a aplicar la desigualdad de Hardy ponderada aguda en la forma:
  $$\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^N e^{\mu t} dt \leq \left( \frac{N}{|\mu|} \right)^N \int_{\mathbb{R}} |f'(t)|^N e^{\mu t} dt$$
  Esto reemplaza los resultados de acotación auxiliar para operadores integrales utilizados en [1], los cuales dependían de la desigualdad de Jensen.
• División por Convexidad: Para $N \geq 2$, los autores emplean una desigualdad de convexidad $(A+B)^{N/2} \leq 2^{N/2-1}(A^{N/2} + B^{N/2})$ para desacoplar las contribuciones radiales y angulares, estimándolas por separado antes de combinar los resultados.
• Construcción de Contraejemplos: Para probar la agudeza del rango, los autores construyen una secuencia de funciones radiales en la variable de Emden–Fowler que viola la desigualdad en el exponente crítico $a=N$.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Extensión del Rango de Peso:
   El artículo demuestra que la desigualdad ponderada se cumple para todo $a \neq N$, extendiendo significativamente el rango previo de $a < 1$. Específicamente, para $N \geq 2$ y $a \neq N$, se establece la siguiente desigualdad para $u \in C^\infty_c(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$:
   $$\int_{\mathbb{R}^N} \left| \nabla \left( \frac{u(x)}{|x|} \right) \right|^N |x|^a dx \leq C_{N,a} \int_{\mathbb{R}^N} |D^2 u|^N |x|^a dx$$
   La desigualdad falla si y solo si $a = N$.

2. Constantes Explícitas:
   Los autores derivan una constante explícita $C_{N,a}$ para $N \geq 2$ y $a \notin \{0, N\}$:
   $$C_{N,a} = 2^{N/2-1} \left[ \left( \frac{N}{|a|} \right)^N + \left( \frac{N}{|N-a|} \right)^N \right]$$
   Para el caso unidimensional ($N=1$), la constante aguda es $1/|1-a|$. Los autores señalan que, si bien esta constante es explícita, no se afirma que sea la constante óptima (la mejor) debido al paso de convexidad utilizado para separar los términos radiales y angulares.

3. Agudeza del Rango:
   El artículo establece que $a=N$ es el único valor crítico. En este valor, la desigualdad falla incluso en el subespacio de funciones radiales. Este fallo se atribuye al desvanecimiento del peso exponencial en el problema unidimensional equivalente, análogo al fallo de la desigualdad de Hardy clásica en $p=N$.

4. Extensión al Laplaciano (Rango de Muckenhoupt):
   Al combinar el resultado principal con la desigualdad de Calderón–Zygmund ponderada, los autores extienden el resultado a la formulación del Laplaciano ($\Delta u$) para el rango de Muckenhoupt $-N < a < N(N-1)$ (con $a \neq N$). Esto proporciona una solución parcial al Problema Abierto 1 en [1].

Significancia y Alcance
El artículo afirma proporcionar una solución parcial a los problemas abiertos relativos a las desigualdades críticas de Hardy–Rellich planteados en [1]. La principal significancia radica en:

• Eliminación de Restricciones Artificiales: El uso de la desigualdad de Hardy ponderada aguda, en lugar de estimaciones basadas en Jensen, elimina la restricción artificial de $a < 1$, revelando que la desigualdad también se cumple para todo $a > N$.
• Explicitud: Proporcionar constantes explícitas donde los resultados previos eran no constructivos.
• Clarificación de la Criticalidad: Identificar precisamente $a=N$ como el exponente crítico único donde la desigualdad se rompe.

Limitaciones y Problemas Abiertos
Los autores mantienen la modestia respecto a la optimidad de las constantes derivadas, señalando que el factor $2^{N/2-1}$ surge de un paso de desacoplamiento que no optimiza simultáneamente las contribuciones radiales y angulares. En consecuencia, determinar las constantes mejores (óptimas) para el caso general sigue siendo un problema abierto (Problema Abierto 1 de [1]).

Además, el artículo no resuelve los análogos fraccionarios (Problemas Abiertos 2 y 3 de [1]), señalando que el argumento actual depende fuertemente de la estructura de la segunda derivada $\partial_{rr}$, la cual carece de un sustituto directo no local para los operadores fraccionarios. Finalmente, la validez de la formulación del Laplaciano (1.6) fuera del rango de Muckenhoupt ($a \leq -N$ o $a \geq N(N-1)$) permanece abierta.