An extension of a critical Hardy--Rellich inequality: explicit constants and the sharp weight range

Resumo Técnico: Uma Extensão de uma Desigualdade Crítica de Hardy–Rellich

Enunciado do Problema
Este artigo aborda as desigualdades críticas de Hardy–Rellich estabelecidas recentemente por Castro [1], focando especificamente no caso em que o expoente $p$ é igual à dimensão $N$ ($p=N$). Embora as desigualdades clássicas de Hardy e Rellich falhem no ponto crítico $p=N$ sem correções logarítmicas, Castro provou uma desigualdade crítica envolvendo a quantidade $\nabla(u/|x|)$ e o Hessiano ou Laplaciano de $u$. No entanto, duas limitações significativas permaneceram nos resultados de Castro:

1. Os constantes derivadas não foram explícitas.
2. O intervalo do expoente de peso $a$ nas desigualdades ponderadas foi restrito a $a < 1$, o que os autores identificam como distante do ótimo.

O problema aberto central abordado é a determinação das constantes ótimas e do intervalo agudo do expoente de peso $a$ para o qual estas desigualdades são válidas, particularmente para o caso $p=N$.

Metodologia
Os autores reformulam o problema utilizando a transformação de Emden–Fowler, introduzindo a variável $t = \log r$ (onde $r = |x|$). Esta transformação permite que os componentes radial e angular da desigualdade sejam analisados através de uma única desigualdade de Hardy ponderada unidimensional clássica.

Etapas metodológicas principais incluem:

• Decomposição: O gradiente $\nabla(u/|x|)$ é decomposto em componentes radiais e tangenciais (esféricos). Os autores utilizam limites pontuais relacionando estes componentes ao Hessiano $|D^2u|$.
• Redução Unidimensional: Ao definir $f(t) = \phi(e^t)$, o problema reduz-se à aplicação da desigualdade de Hardy ponderada aguda na forma:
  $$\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^N e^{\mu t} dt \leq \left( \frac{N}{|\mu|} \right)^N \int_{\mathbb{R}} |f'(t)|^N e^{\mu t} dt$$
  Isso substitui os resultados auxiliares de limitação para operadores integrais usados em [1], que dependiam da desigualdade de Jensen.
• Divisão por Convexidade: Para $N \geq 2$, os autores empregam uma desigualdade de convexidade $(A+B)^{N/2} \leq 2^{N/2-1}(A^{N/2} + B^{N/2})$ para desacoplar as contribuições radiais e angulares, estimando-as separadamente antes de combiná-las.
• Construção de Contraexemplo: Para provar a nitidez do intervalo, os autores constroem uma sequência de funções radiais na variável de Emden–Fowler que viola a desigualdade no expoente crítico $a=N$.

Contribuições Principais e Resultados

1. Extensão do Intervalo de Peso:
   O artigo prova que a desigualdade ponderada é válida para todo $a \neq N$, estendendo significativamente o intervalo anterior de $a < 1$. Especificamente, para $N \geq 2$ e $a \neq N$, a seguinte desigualdade é estabelecida para $u \in C^\infty_c(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$:
   $$\int_{\mathbb{R}^N} \left| \nabla \left( \frac{u(x)}{|x|} \right) \right|^N |x|^a dx \leq C_{N,a} \int_{\mathbb{R}^N} |D^2 u|^N |x|^a dx$$
   A desigualdade falha se, e somente se, $a = N$.

2. Constantes Explícitas:
   Os autores derivam uma constante explícita $C_{N,a}$ para $N \geq 2$ e $a \notin \{0, N\}$:
   $$C_{N,a} = 2^{N/2-1} \left[ \left( \frac{N}{|a|} \right)^N + \left( \frac{N}{|N-a|} \right)^N \right]$$
   Para o caso unidimensional ($N=1$), a constante aguda é $1/|1-a|$. Os autores observam que, embora esta constante seja explícita, não se afirma que seja a ótima (melhor) devido ao passo de convexidade usado para separar os termos radiais e angulares.

3. Nitidez do Intervalo:
   O artigo estabelece que $a=N$ é o valor crítico único. Neste valor, a desigualdade falha mesmo no subespaço das funções radiais. Esta falha é atribuída ao desaparecimento do peso exponencial no problema unidimensional equivalente, análogo à falha da desigualdade de Hardy clássica em $p=N$.

4. Extensão para o Laplaciano (Intervalo de Muckenhoupt):
   Ao combinar o resultado principal com a desigualdade ponderada de Calderón–Zygmund, os autores estendem o resultado para a formulação do Laplaciano ($\Delta u$) para o intervalo de Muckenhoupt $-N < a < N(N-1)$ (com $a \neq N$). Isto fornece uma solução parcial para o Problema Aberto 1 de [1].

Significância e Escopo
O artigo afirma fornecer uma solução parcial para os problemas abertos relativos às desigualdades críticas de Hardy–Rellich propostos em [1]. A principal significância reside em:

• Remoção de Restrições Artificiais: O uso da desigualdade de Hardy ponderada aguda, em vez de estimativas baseadas em Jensen, remove a restrição artificial de $a < 1$, revelando que a desigualdade também é válida para todo $a > N$.
• Explicitude: Fornecer constantes explícitas onde os resultados anteriores eram não construtivos.
• Clarificação da Criticalidade: Identificar precisamente $a=N$ como o expoente crítico único onde a desigualdade deixa de ser válida.

Limitações e Problemas Abertos
Os autores permanecem modestos quanto à otimalidade das constantes derivadas, observando que o fator $2^{N/2-1}$ surge de um passo de desacoplamento que não extrema simultaneamente as contribuições radiais e angulares. Consequentemente, determinar as melhores (ótimas) constantes para o caso geral permanece um problema aberto (Problema Aberto 1 de [1]).

Além disso, o artigo não resolve os análogos fracionários (Problemas Abertos 2 e 3 de [1]), observando que o argumento atual depende fortemente da estrutura da segunda derivada $\partial_{rr}$, que carece de um substituto direto não local para operadores fracionários. Finalmente, a validade da formulação do Laplaciano (1.6) fora do intervalo de Muckenhoupt ($a \leq -N$ ou $a \geq N(N-1)$) permanece aberta.