An extension of a critical Hardy--Rellich inequality: explicit constants and the sharp weight range

Résumé Technique : Une extension d'une inégalité de Hardy–Rellich critique

Énoncé du problème
Cet article traite des inégalités de Hardy–Rellich critiques récemment établies par Castro [1], en se concentrant spécifiquement sur le cas où l'exposant $p$ est égal à la dimension $N$ ($p=N$). Alors que les inégalités classiques de Hardy et de Rellich échouent à l'extrémité $p=N$ sans corrections logarithmiques, Castro a prouvé une inégalité critique impliquant la quantité $\nabla(u/|x|)$ et le Hessien ou le Laplacien de $u$. Cependant, deux limitations importantes subsistaient dans les résultats de Castro :

1. Les constantes dérivées n'étaient pas explicites.
2. La plage de l'exposant de poids $a$ dans les inégalités pondérées était restreinte à $a < 1$, ce qui est identifié par les auteurs comme étant loin de l'optimal.

Le problème ouvert central abordé est la détermination des constantes optimales et de la plage exacte de l'exposant de poids $a$ pour lesquelles ces inégalités sont vérifiées, particulièrement pour le cas $p=N$.

Méthodologie
Les auteurs reformulent le problème en utilisant la transformation d'Emden–Fowler, en introduisant la variable $t = \log r$ (où $r = |x|$). Cette transformation permet d'analyser les composantes radiales et angulaires de l'inégalité à travers une unique inégalité de Hardy pondérée unidimensionnelle classique.

Les étapes méthodologiques clés incluent :

• Décomposition : Le gradient $\nabla(u/|x|)$ est décomposé en composantes radiales et tangentielles (sphériques). Les auteurs utilisent des bornes ponctuelles reliant ces composantes au Hessien $|D^2u|$.
• Réduction unidimensionnelle : En posant $f(t) = \phi(e^t)$, le problème se réduit à l'application de l'inégalité de Hardy pondérée exacte sous la forme :
  $$\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^N e^{\mu t} dt \leq \left( \frac{N}{|\mu|} \right)^N \int_{\mathbb{R}} |f'(t)|^N e^{\mu t} dt$$
  Cela remplace les résultats de bornitude auxiliaires pour les opérateurs intégraux utilisés dans [1], qui reposaient sur l'inégalité de Jensen.
• Découplage par convexité : Pour $N \geq 2$, les auteurs emploient une inégalité de convexité $(A+B)^{N/2} \leq 2^{N/2-1}(A^{N/2} + B^{N/2})$ pour découpler les contributions radiales et angulaires, en estimant séparément ces dernières avant de les combiner.
• Construction de contre-exemple : Pour prouver la précision de la plage, les auteurs construisent une séquence de fonctions radiales dans la variable d'Emden–Fowler qui viole l'inégalité à l'exposant critique $a=N$.

Contributions clés et résultats

1. Extension de la plage de poids :
   L'article prouve que l'inégalité pondérée est vérifiée pour tout $a \neq N$, étendant considérablement la plage précédente de $a < 1$. Spécifiquement, pour $N \geq 2$ et $a \neq N$, l'inégalité suivante est établie pour $u \in C^\infty_c(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ :
   $$\int_{\mathbb{R}^N} \left| \nabla \left( \frac{u(x)}{|x|} \right) \right|^N |x|^a dx \leq C_{N,a} \int_{\mathbb{R}^N} |D^2 u|^N |x|^a dx$$
   L'inégalité échoue si et seulement si $a = N$.

2. Constantes explicites :
   Les auteurs dérivent une constante explicite $C_{N,a}$ pour $N \geq 2$ et $a \notin \{0, N\}$ :
   $$C_{N,a} = 2^{N/2-1} \left[ \left( \frac{N}{|a|} \right)^N + \left( \frac{N}{|N-a|} \right)^N \right]$$
   Pour le cas unidimensionnel ($N=1$), la constante exacte est $1/|1-a|$. Les auteurs notent que bien que cette constante soit explicite, elle n'est pas revendiquée comme étant l'optimale (la meilleure) en raison de l'étape de convexité utilisée pour séparer les termes radiaux et angulaires.

3. Précision de la plage :
   L'article établit que $a=N$ est la valeur critique unique. À cette valeur, l'inégalité échoue même sur le sous-espace des fonctions radiales. Cet échec est attribué à l'annulation du poids exponentiel dans l'équivalent unidimensionnel du problème, de manière analogue à l'échec de l'inégalité de Hardy classique à $p=N$.

4. Extension au Laplacien (Plage de Muckenhoupt) :
   En combinant le résultat principal avec l'inégalité de Calderón–Zygmund pondérée, les auteurs étendent le résultat à la formulation du Laplacien ($\Delta u$) pour la plage de Muckenhoupt $-N < a < N(N-1)$ (avec $a \neq N$). Cela fournit une solution partielle au Problème Ouvert 1 de [1].

Signification et portée
L'article affirme fournir une solution partielle aux problèmes ouverts concernant les inégalités de Hardy–Rellich critiques posés dans [1]. La principale signification réside dans :

• Suppression des restrictions artificielles : L'utilisation de l'inégalité de Hardy pondérée exacte, plutôt que des estimations basées sur Jensen, élimine la contrainte artificielle $a < 1$, révélant que l'inégalité est également vérifiée pour tout $a > N$.
• Explicité : Fournir des constantes explicites là où les résultats précédents étaient non constructifs.
• Clarification de la criticité : Identifier précisément $a=N$ comme l'exposant critique unique où l'inégalité s'effondre.

Limites et problèmes ouverts
Les auteurs restent modestes quant à l'optimalité des constantes dérivées, notant que le facteur $2^{N/2-1}$ provient d'une étape de découplage qui ne maximise pas simultanément les contributions radiales et angulaires. Par conséquent, déterminer les meilleures (optimales) constantes pour le cas général reste un problème ouvert (Problème Ouvert 1 de [1]).

De plus, l'article ne résout pas les analogues fractionnaires (Problèmes Ouverts 2 et 3 de [1]), notant que l'argument actuel repose fortement sur la structure de la dérivée seconde $\partial_{rr}$, laquelle ne possède pas de substitut direct non local pour les opérateurs fractionnaires. Enfin, la validité de la formulation du Laplacien (1.6) en dehors de la plage de Muckenhoupt ($a \leq -N$ ou $a \geq N(N-1)$) demeure ouverte.