On the Diophantine Inequality $\lvert x^{2} - 2^{a}\cdot 3^{b}\rvert < 3\max\{a,b\}$

Resumen Técnico de "Sobre la desigualdad diofántica $|x^2 - 2^a \cdot 3^b| < 3 \max\{a, b\}$"

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la desigualdad diofántica:
$$1 \le |x^2 - 2^a \cdot 3^b| < 3 \max\{a, b\}$$
en enteros no negativos $x, a, b$. Los autores buscan determinar el conjunto de todas las soluciones $(a, b, x)$. El problema se sitúa en la intersección de la teoría de números aditiva y multiplicativa, examinando específicamente qué tan cerca puede estar un cuadrado perfecto de un número 3-suave (un número de la forma $2^a 3^b$) cuando el término de error está restringido a crecer linealmente con los exponentes, mientras que el término $2^a 3^b$ en sí mismo crece exponencialmente. Esto contrasta con la ecuación clásica $x^2 = 2^a 3^b$, que tiene una familia infinita de soluciones triviales donde $a$ y $b$ son pares. La desigualdad restringe la búsqueda a "casi aciertos" (near-misses) donde la diferencia es no nula pero relativamente pequeña.

Metodología
La estrategia de prueba se bifurca según la magnitud de $A := \max\{a, b\}$, empleando una combinación de verificación computacional, teoría de números analítica y métodos de trascendencia.

1. Casos Pequeños ($A \le 2200$):
   Los autores realizan una búsqueda computacional exhaustiva utilizando SageMath. Para pares $(a, b)$ dentro del rango $[0, 2200]$, identifican los enteros candidatos $x$ más cercanos a $\sqrt{2^a 3^b}$ (específicamente $\lfloor \sqrt{2^a 3^b} \rfloor$ y $\lfloor \sqrt{2^a 3^b} \rfloor + 1$) y verifican la desigualdad directamente. Esto produce una lista finita de soluciones.

2. Casos Grandes ($A > 2200$):
   Para exponentes mayores, los autores reducen el problema a un problema de aproximación racional que involucra números irracionales $\sqrt{d}$ donde $d \in \{2, 3, 6\}$.

   • Reducción a Fracciones Continuas: Al analizar la paridad de $a$ y $b$, el término $2^a 3^b$ se reescribe como $2^{2\alpha} 3^{2\beta} d$. La desigualdad implica que un número racional $x_0/y_0$ aproxima a $\sqrt{d}$ con un error acotado por $K/y_0^2$, donde $K$ depende de $A$.
   • Teorema de Worley: Los autores aplican el teorema de Worley para caracterizar tales aproximaciones racionales. Esto establece que $x_0/y_0$ debe ser un convergente de la fracción continua de $\sqrt{d}$ o una combinación lineal específica de convergentes consecutivos. Esto conduce a una ecuación diofántica exponencial unificada de la forma:
     $$2\sqrt{d} y_0 = C\gamma^n + D\delta^n$$
     donde $\gamma$ es la unidad fundamental del cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, y $C, D$ son enteros algebraicos parametrizados por familias específicas.
   • Formas Lineales de Logaritmos $p$-ádicos: Para acotar el exponente $n$ (y consecuentemente $A$), los autores toman las valoraciones $p$-ádicas ($p \in \{2, 3\}$) de la ecuación unificada. Aplican un teorema de cota inferior para formas lineales $p$-ádicas en dos logaritmos debido a Bugeaud y Laurent. Este paso produce una cota superior inicial, aunque muy grande, para $A$ (aproximadamente $3.57 \times 10^7$).
   • Reducción mediante el Algoritmo LLL: La cota inicial es demasiado grande para la computación directa. Los autores emplean el algoritmo de reducción de redes de Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL) para ajustar significativamente la cota. Mediante la construcción de una red basada en la forma lineal derivada de la ecuación logarítmica, reducen la cota superior de $A$ a $2200$.

3. Manejo de Casos Especiales:
   Los autores abordan posibles casos límite donde los números algebraicos involucrados en las formas lineales son multiplicativamente dependientes. Demuestran que, en estos escenarios, la cota de $A$ se vuelve aún más pequeña ($A < 180$), asegurando que estos casos ya estén cubiertos por la búsqueda computacional inicial.

Contribuciones Clave y Resultados

• Clasificación Completa: El artículo establece que existen exactamente 57 soluciones de enteros no negativos $(a, b, x)$ para la desigualdad.
• Lista Explícita: Las 57 soluciones se enumeran explícitamente en la Tabla 1.1 del artículo. Los autores señalan que si se restringe la búsqueda a enteros positivos $x, a, b$, existen exactamente 28 soluciones.
• Síntesis Metodológica: El trabajo demuestra la efectividad de combinar herramientas clásicas de aproximación diofántica (teorema de Worley, fracciones continuas) con métodos modernos de trascendencia (cotas de Bugeaud–Laurent) y reducción de redes computacionales (LLL) para resolver desigualdades diofánticas específicas.

Significado
El artículo contribuye al programa general de comprender las desigualdades diofánticas donde expresiones polinómicas aproximan conjuntos de estructura multiplicativa (números suaves). Extiende el estudio de las ecuaciones de "casi acierto" más allá del ámbito de las ecuaciones diofánticas exactas (como las ecuaciones de tipo Pillai) hacia casos con términos de error controlados. Los autores destacan que la presencia de un término de error que crece linealmente en los exponentes, en lugar de ser constante, crea un régimen altamente restringido que admite solo finitas soluciones. La resolución exitosa de esta desigualdad específica sirve como demostración del poder de los métodos de trascendencia actuales para resolver completamente tales problemas.