On the Diophantine Inequality $\lvert x^{2} - 2^{a}\cdot 3^{b}\rvert < 3\max\{a,b\}$

Résumé technique de « Sur l'inégalité diophantienne $|x^2 - 2^a \cdot 3^b| < 3 \max\{a, b\}$ »

Énoncé du problème
L'article étudie l'inégalité diophantienne :
$$1 \le |x^2 - 2^a \cdot 3^b| < 3 \max\{a, b\}$$
pour des entiers non négatifs $x, a, b$. Les auteurs cherchent à déterminer l'ensemble de toutes les solutions $(a, b, x)$. Le problème se situe à l'intersection de la théorie de l'additivité et de la théorie multiplicative des nombres, examinant plus précisément comment un carré parfait peut approcher un nombre 3-lisse (un nombre de la forme $2^a 3^b$) lorsque le terme d'erreur est contraint de croître linéairement avec les exposants, alors que le terme $2^a 3^b$ lui-même croît de manière exponentielle. Cela contraste avec l'équation classique $x^2 = 2^a 3^b$, qui possède une famille infinie de solutions triviales où $a$ et $b$ sont pairs. L'inégalité restreint la recherche aux « quasi-solutions » où la différence est non nulle mais relativement petite.

Méthodologie
La stratégie de preuve est bifurquée en fonction de la magnitude de $A := \max\{a, b\}$, employant une combinaison de vérification computationnelle, de théorie analytique des nombres et de méthodes de transcendance.

1. Petits cas ($A \le 2200$) :
   Les auteurs effectuent une recherche exhaustive par ordinateur en utilisant SageMath. Pour les paires $(a, b)$ dans l'intervalle $[0, 2200]$, ils identifient les entiers candidats $x$ les plus proches de $\sqrt{2^a 3^b}$ (spécifiquement $\lfloor \sqrt{2^a 3^b} \rfloor$ et $\lfloor \sqrt{2^a 3^b} \rfloor + 1$) et vérifient directement l'inégalité. Cela produit une liste finie de solutions.

2. Grands cas ($A > 2200$) :
   Pour les exposants plus grands, les auteurs réduisent le problème à un problème d'approximation rationnelle impliquant des nombres irrationnels $\sqrt{d}$ où $d \in \{2, 3, 6\}$.

   • Réduction aux fractions continues : En analysant la parité de $a$ et $b$, le terme $2^a 3^b$ est réécrit sous la forme $2^{2\alpha} 3^{2\beta} d$. L'inégalité implique qu'un nombre rationnel $x_0/y_0$ approxime $\sqrt{d}$ avec une erreur bornée par $K/y_0^2$, où $K$ dépend de $A$.
   • Théorème de Worley : Les auteurs appliquent le théorème de Worley pour caractériser de telles approximations rationnelles. Cela établit que $x_0/y_0$ doit être soit un convergent de la fraction continue de $\sqrt{d}$, soit une combinaison linéaire spécifique de convergents consécutifs. Cela conduit à une équation diophantienne exponentielle unifiée de la forme :
     $$2\sqrt{d} y_0 = C\gamma^n + D\delta^n$$
     où $\gamma$ est l'unité fondamentale du corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, et $C, D$ sont des entiers algébriques paramétrés par des familles spécifiques.
   • Formes linéaires de logarithmes $p$-adiques : Pour borner l'exposant $n$ (et par conséquent $A$), les auteurs utilisent les valuations $p$-adiques ($p \in \{2, 3\}$) de l'équation unifiée. Ils appliquent un théorème de borne inférieure pour les formes linéaires de deux logarithmes $p$-adiques dû à Bugeaud et Laurent. Cette étape produit une borne initiale, bien que très grande, pour $A$ (environ $3,57 \times 10^7$).
   • Réduction par l'algorithme LLL : La borne initiale est trop grande pour un calcul direct. Les auteurs emploient l'algorithme de réduction de réseau Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL) pour resserrer considérablement la borne. En construisant un réseau basé sur la forme linéaire dérivée de l'équation logarithmique, ils réduisent la borne supérieure de $A$ à $2200$.

3. Gestion des cas particuliers :
   Les auteurs traitent les cas limites potentiels où les nombres algébriques impliqués dans les formes linéaires sont multiplicativement dépendants. Ils démontrent que dans ces scénarios, la borne sur $A$ devient encore plus petite ($A < 180$), garantissant que ces cas sont déjà couverts par la recherche computationnelle initiale.

Contributions clés et résultats

• Classification complète : L'article établit qu'il existe exactement 57 solutions d'entiers non négatifs $(a, b, x)$ à l'inégalité.
• Liste explicite : Les 57 solutions sont explicitement listées dans la Table 1.1 de l'article. Les auteurs notent que si l'on restreint la recherche aux entiers positifs $x, a, b$, il existe exactement 28 solutions.
• Synthèse méthodologique : Ce travail démontre l'efficacité de la combinaison des outils classiques d'approximation diophantienne (théorème de Worley, fractions continues) avec les méthodes modernes de transcendance (bornes de Bugeaud–Laurent) et la réduction de réseau computationnelle (LLL) pour résoudre des inégalités diophantiennes spécifiques.

Signification
L'article contribue au programme plus large consistant à comprendre les inégalités diophantiennes où des expressions polynomiales approchent des ensembles à structure multiplicative (nombres lisses). Il étend l'étude des équations de type « quasi-solution » au-delà du domaine des équations diophantiennes exactes (comme les équations de type Pillai) vers des cas avec des termes d'erreur contrôlés. Les auteurs soulignent que la présence d'un terme d'erreur croissant linéairement par rapport aux exposants, plutôt que constant, crée un régime hautement contraint qui n'admet que finies solutions. La résolution réussie de cette inégalité spécifique sert de démonstration de la puissance des méthodes de transcendance actuelles pour résoudre complètement de tels problèmes.