Existence of solutions for elliptic problems involving the $(1,q)$-Laplacian operator and a discontinuous superlinear nonlinearity

Resumen Técnico: Existencia de Soluciones para Problemas Elípticos que Involucran el (1, q)-Laplaciano y una No Linealidad Superlineal Discontinua

Planteamiento del Problema
El artículo investiga una clase de problemas elípticos cuasilineales definidos en un dominio acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) con una frontera Lipschitz. La ecuación central es:
$$\begin{cases} -\Delta_1 u - \Delta_q u = H(u - \beta) |u|^{s-2} u & \text{en } \Omega, \\ u = 0 & \text{en } \partial\Omega, \end{cases} \quad (P)$$
donde:

• $\Delta_1 u = \text{div}\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)$ es el operador 1-Laplaciano.
• $\Delta_q u = \text{div}(|\nabla u|^{q-2}\nabla u)$ es el operador $q$-Laplaciano, con $1 < q < s < q^*$ (donde $q^*$ es el exponente crítico de Sobolev).
• $H$ es la función de Heaviside, que introduce una discontinuidad en $u = \beta$ ($\beta > 0$).
• La no linealidad es superlineal ($s > q$).

La principal dificultad matemática surge del 1-Laplaciano, que naturalmente conduce al espacio de Funciones de Variación Acotada ($BV(\Omega)$), un espacio que carece de reflexividad. Esto crea desafíos técnicos significativos respecto a la compacidad y la definición de soluciones débiles. Además, la presencia de la función discontinua de Heaviside impide el uso de los métodos variacionales diferenciables estándar.

Metodología
Los autores emplean una estrategia de aproximación de múltiples pasos combinada con la teoría de puntos críticos no suaves y la teoría de campos de divergencia-medida:

1. Aproximación por (p, q)-Laplaciano: El problema se aborda considerando una familia de problemas auxiliares $(P_p)$ que involucran el operador $(p, q)$-Laplaciano ($-\Delta_p u - \Delta_q u$) donde $1 < p < q$. El límite $p \to 1^+$ recupera la estructura original del $(1, q)$-Laplaciano.
2. Marco Variacional No Suave: Dado que el funcional de energía asociado a la no linealidad discontinua no es de clase $C^1$ (Fréchet diferenciable), los autores utilizan la teoría de puntos críticos para funcionales localmente Lipschitz (el gradiente generalizado de Clarke). Definen un funcional $J_{p,\beta}$ y aplican una versión no suave del Teorema del Paso de Montaña para establecer la existencia de puntos críticos $u_{p,\beta}$.
3. Estimaciones Uniformes y Compacidad:
   • Acotación: Los autores demuestran que la sucesión de soluciones $(u_{p,\beta})$ está uniformemente acotada en $W^{1,q}_0(\Omega)$ y $L^\infty(\Omega)$ (vía iteración de Moser).
   • Convergencia: A medida que $p \to 1^+$, la sucesión converge a una función límite $u_\beta$. El término que involucra al 1-Laplaciano se maneja identificando el límite débil del campo vectorial $|\nabla u_{p,\beta}|^{p-2}\nabla u_{p,\beta}$ como un campo vectorial $z_\beta \in L^\infty(\Omega, \mathbb{R}^N)$ con $\|z_\beta\|_\infty \leq 1$.
4. Análisis de Límite ($\beta \to 0^+$): El artículo analiza además el comportamiento asintótico de las soluciones $u_\beta$ cuando el parámetro $\beta$ tiende a cero. Esto implica demostrar la convergencia de la familia $(u_\beta)$ hacia una solución $u_0$ del problema límite continuo $(P_0)$, donde se elimina la discontinuidad de Heaviside.

Contribuciones Clave y Resultados

• Definición de Solución Débil: El artículo establece una definición rigurosa de solución para el Problema (P) dentro del contexto de funciones $BV$ y campos de divergencia-medida. Una función $u$ es una solución si existen un campo vectorial $z$ y una función $\rho$ tales que:
  • $-\text{div}(z) - \Delta_q u = \rho$ en el sentido distributivo.
  • $z \cdot \nabla u = |\nabla u|$ casi en todas partes (una condición crucial que vincula el campo vectorial con el gradiente).
  • $\rho$ satisface una inclusión multivaluada correspondiente a la función de Heaviside en el punto de discontinuidad $u=\beta$.
• Teorema 1 (Existencia): Para cualquier $\beta > 0$, el Problema (P) admite al menos una solución no negativa y no trivial $u_\beta \in W^{1,q}_0(\Omega)$. Notablemente, a pesar de la presencia del 1-Laplaciano, la solución pertenece al espacio de Sobolev $W^{1,q}_0(\Omega)$ debido al efecto regularizador del término $q$-Laplaciano.
• Teorema 2 (Comportamiento Asintótico): Cuando $\beta \to 0^+$, la familia de soluciones $(u_\beta)$ converge (salvo una subsucesión) a una solución no trivial y no negativa $u_0 \in W^{1,q}_0(\Omega)$ del problema límite $(P_0)$ (donde el lado derecho es $|u|^{s-2}u$). La convergencia se cumple en $L^r(\Omega)$ para $1 \leq r < q^*$ y casi en todas partes.
• No Trivialidad: Los autores demuestran que las soluciones son no triviales mostrando que la medida del conjunto donde $u_\beta(x) > \beta$ está acotada lejos de cero para $\beta$ pequeño, asegurando que la solución no se anule ni se concentre enteramente por debajo del umbral.

Significancia
El artículo contribuye al desarrollo de la teoría para los operadores $(1, q)$-Laplaciano, un entorno que permanece mayormente inexplorado en comparación con los problemas estándar del $p$-Laplaciano. Al combinar técnicas de aproximación con análisis no suave y la teoría de campos de divergencia-medida, los autores abordan con éxito los desafíos duales de la naturaleza no reflexiva del 1-Laplaciano y la discontinuidad de la no linealidad. El trabajo extiende resultados previos sobre problemas del 1-Laplaciano (por ejemplo, los de Pimenta et al. y Figueiredo et al.) al caso mixto $(1, q)$, demostrando que el efecto regularizador del $q$-Laplaciano permite soluciones en espacios de Sobolev mientras mantiene la estructura necesaria para manejar el término singular del 1-Laplaciano.