Existence of solutions for elliptic problems involving the $(1,q)$-Laplacian operator and a discontinuous superlinear nonlinearity

Resumo Técnico: Existência de Soluções para Problemas Elípticos Envolvendo o (1, q)-Laplaciano e uma Não Linearidade Superlinear Descontínua

Enunciado do Problema
O artigo investiga uma classe de problemas elípticos quasilineares definidos em um domínio limitado $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) com uma fronteira Lipschitz. A equação central é:
$$\begin{cases} -\Delta_1 u - \Delta_q u = H(u - \beta) |u|^{s-2} u & \text{em } \Omega, \\ u = 0 & \text{em } \partial\Omega, \end{cases} \quad (P)$$
onde:

• $\Delta_1 u = \text{div}\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)$ é o operador 1-Laplaciano.
• $\Delta_q u = \text{div}(|\nabla u|^{q-2}\nabla u)$ é o operador $q$-Laplaciano, com $1 < q < s < q^*$ (onde $q^*$ é o expoente crítico de Sobolev).
• $H$ é a função de Heaviside, introduzindo uma descontinuidade em $u = \beta$ ($\beta > 0$).
• A não linearidade é superlinear ($s > q$).

A principal dificuldade matemática surge do 1-Laplaciano, que naturalmente leva ao espaço das Funções de Variação Limitada ($BV(\Omega)$), um espaço que carece de reflexividade. Isso cria desafios técnicos significativos em relação à compacidade e à definição de soluções fracas. Além disso, a presença da função descontínua de Heaviside impede o uso de métodos variacionais diferenciais padrão.

Metodologia
Os autores empregam uma estratégia de aproximação de múltiplas etapas combinada com a teoria de pontos críticos não suaves e a teoria de campos de divergência-medida:

1. Aproximação pelo (p, q)-Laplaciano: O problema é abordado considerando uma família de problemas auxiliares $(P_p)$ envolvendo o operador $(p, q)$-Laplaciano ($-\Delta_p u - \Delta_q u$) onde $1 < p < q$. O limite $p \to 1^+$ recupera a estrutura original do $(1, q)$-Laplaciano.
2. Estrutura Variacional Não Suave: Como o funcional de energia associado à não linearidade descontínua não é Fréchet diferenciável, os autores utilizam a teoria de pontos críticos para funcionais localmente Lipschitz (gradiente generalizado de Clarke). Eles definem um funcional $J_{p,\beta}$ e aplicam uma versão não suave do Teorema do Passo de Montanha para estabelecer a existência de pontos críticos $u_{p,\beta}$.
3. Estimativas Uniformes e Compacidade:
   • Limitante Superior: Os autores provam que a sequência de soluções $(u_{p,\beta})$ é uniformemente limitada em $W^{1,q}_0(\Omega)$ e $L^\infty(\Omega)$ (via iteração de Moser).
   • Convergência: À medida que $p \to 1^+$, a sequência converge para uma função limite $u_\beta$. O termo envolvendo o 1-Laplaciano é tratado identificando o limite fraco do campo vetorial $|\nabla u_{p,\beta}|^{p-2}\nabla u_{p,\beta}$ como um campo vetorial $z_\beta \in L^\infty(\Omega, \mathbb{R}^N)$ com $\|z_\beta\|_\infty \leq 1$.
4. Análise de Limite ($\beta \to 0^+$): O artigo analisa ainda o comportamento assintótico das soluções $u_\beta$ conforme o parâmetro $\beta$ tende a zero. Isso envolve provar a convergência da família $(u_\beta)$ para uma solução $u_0$ do problema limite contínuo $(P_0)$, onde a descontinuidade de Heaviside é removida.

Principais Contribuições e Resultados

• Definição de Solução Fraca: O artigo estabelece uma definição rigorosa de solução para o Problema (P) no contexto de funções $BV$ e campos de divergência-medida. Uma função $u$ é uma solução se existirem um campo vetorial $z$ e uma função $\rho$ tais que:
  • $-\text{div}(z) - \Delta_q u = \rho$ no sentido distributivo.
  • $z \cdot \nabla u = |\nabla u|$ quase em toda parte (uma condição crucial ligando o campo vetorial ao gradiente).
  • $\rho$ satisfaz uma inclusão multivalorada correspondente à função de Heaviside no ponto de descontinuidade $u=\beta$.
• Teorema 1 (Existência): Para qualquer $\beta > 0$, o Problema (P) admite pelo menos uma solução não negativa e não trivial $u_\beta \in W^{1,q}_0(\Omega)$. Notavelmente, apesar da presença do 1-Laplaciano, a solução pertence ao espaço Sobolev $W^{1,q}_0(\Omega)$ devido ao efeito regularizador do termo $q$-Laplaciano.
• Teorema 2 (Comportamento Assintótico): Conforme $\beta \to 0^+$, a família de soluções $(u_\beta)$ converge (até uma subsequência) para uma solução não trivial e não negativa $u_0 \in W^{1,q}_0(\Omega)$ do problema limite $(P_0)$ (onde o lado direito é $|u|^{s-2}u$). A convergência ocorre em $L^r(\Omega)$ para $1 \leq r < q^*$ e quase em toda parte.
• Não Trivialidade: Os autores provam que as soluções são não triviais mostrando que a medida do conjunto onde $u_\beta(x) > \beta$ é limitada longe de zero para $\beta$ pequeno, garantindo que a solução não desapareça ou se concentre inteiramente abaixo do limiar.

Significância
O artigo contribui para o desenvolvimento da teoria dos operadores $(1, q)$-Laplaciano, um cenário que permanece amplamente inexplorado em comparação aos problemas padrão de $p$-Laplaciano. Ao combinar técnicas de aproximação com análise não suave e teoria de campos de divergência-medida, os autores abordam com sucesso os duplos desafios da natureza não reflexiva do 1-Laplaciano e da descontinuidade da não linearidade. O trabalho estende resultados anteriores sobre problemas de 1-Laplaciano (por exemplo, aqueles de Pimenta et al. e Figueiredo et al.) para o caso misto $(1, q)$, demonstrando que o efeito regularizador do $q$-Laplaciano permite soluções em espaços Sobolev enquanto mantém a estrutura necessária para lidar com o termo singular do 1-Laplaciano.