Existence of solutions for elliptic problems involving the $(1,q)$-Laplacian operator and a discontinuous superlinear nonlinearity

Résumé Technique : Existence de Solutions pour des Problèmes Elliptiques impliquant le $(1, q)$-Laplacien et une Nonlinéarité Superlinéaire Discontinue

Énoncé du Problème
L'article étudie une classe de problèmes elliptiques quasilinéaires définis sur un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) avec un bord Lipschitzien. L'équation centrale est :
$$\begin{cases} -\Delta_1 u - \Delta_q u = H(u - \beta) |u|^{s-2} u & \text{dans } \Omega, \\ u = 0 & \text{sur } \partial\Omega, \end{cases} \quad (P)$$
où :

• $\Delta_1 u = \text{div}\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)$ est l'opérateur 1-Laplacien.
• $\Delta_q u = \text{div}(|\nabla u|^{q-2}\nabla u)$ est l'opérateur $q$-Laplacien, avec $1 < q < s < q^*$ (où $q^*$ est l'exposant de Sobolev critique).
• $H$ est la fonction de Heaviside, introduisant une discontinuité en $u = \beta$ ($\beta > 0$).
• La nonlinéarité est superlinéaire ($s > q$).

La difficulté mathématique principale provient du 1-Laplacien, qui mène naturellement à l'espace des fonctions de variation bornée ($BV(\Omega)$), un espace dépourvu de réflexivité. Cela crée des défis techniques importants concernant la compacité et la définition des solutions faibles. De plus, la présence de la fonction de Heaviside discontinue empêche l'utilisation des méthodes variationnelles classiques différentiables.

Méthodologie
Les auteurs emploient une stratégie d'approximation par étapes combinée à la théorie des points critiques non lisses et à la théorie des champs de divergence-mesure :

1. Approximation par le $(p, q)$-Laplacien : Le problème est abordé en considérant une famille de problèmes auxiliaires $(P_p)$ impliquant l'opérateur $(p, q)$-Laplacien ($-\Delta_p u - \Delta_q u$) où $1 < p < q$. La limite $p \to 1^+$ permet de retrouver la structure du $(1, q)$-Laplacien original.
2. Cadre Variationnel Non Lisse : Puisque la fonctionnelle d'énergie associée à la nonlinéarité discontinue n'est pas de classe $C^1$ (différentiable de Fréchet), les auteurs utilisent la théorie des points critiques pour les fonctionnelles localement Lipschitziennes (gradient généralisé de Clarke). Ils définissent une fonctionnelle $J_{p,\beta}$ et appliquent une version non lisse du théorème du Montée par Taureau (Mountain Pass Theorem) pour établir l'existence de points critiques $u_{p,\beta}$.
3. Estimations Uniformes et Compacité :
   • Bornitude : Les auteurs prouvent que la suite de solutions $(u_{p,\beta})$ est uniformément bornée dans $W^{1,q}_0(\Omega)$ et $L^\infty(\Omega)$ (via l'itération de Moser).
   • Convergence : Lorsque $p \to 1^+$, la suite converge vers une fonction limite $u_\beta$. Le terme impliquant le 1-Laplacien est traité en identifiant la limite faible du champ vectoriel $|\nabla u_{p,\beta}|^{p-2}\nabla u_{p,\beta}$ comme un champ vectoriel $z_\beta \in L^\infty(\Omega, \mathbb{R}^N)$ tel que $\|z_\beta\|_\infty \leq 1$.
4. Analyse de la Limite ($\beta \to 0^+$) : L'article analyse ensuite le comportement asymptotique des solutions $u_\beta$ lorsque le paramètre $\beta$ tend vers zéro. Cela implique de prouver la convergence de la famille $(u_\beta)$ vers une solution $u_0$ du problème limite continu $(P_0)$, où la discontinuité de Heaviside est supprimée.

Contributions Clés et Résultats

• Définition de la Solution Faible : L'article établit une définition rigoureuse d'une solution pour le Problème (P) dans le contexte des fonctions $BV$ et des champs de divergence-mesure. Une fonction $u$ est une solution s'il existe un champ vectoriel $z$ et une fonction $\rho$ tels que :
  • $-\text{div}(z) - \Delta_q u = \rho$ au sens distributionnel.
  • $z \cdot \nabla u = |\nabla u|$ presque partout (une condition cruciale liant le champ vectoriel au gradient).
  • $\rho$ satisfait une inclusion multivaluée correspondant à la fonction de Heaviside au point de discontinuité $u=\beta$.
• Théorème 1 (Existence) : Pour tout $\beta > 0$, le Problème (P) admet au moins une solution non négative et non triviale $u_\beta \in W^{1,q}_0(\Omega)$. Notamment, malgré la présence du 1-Laplacien, la solution appartient à l'espace de Sobolev $W^{1,q}_0(\Omega)$ grâce à l'effet régularisant du terme $q$-Laplacien.
• Théorème 2 (Comportement Asymptotique) : Lorsque $\beta \to 0^+$, la famille de solutions $(u_\beta)$ converge (à une sous-suite près) vers une solution non triviale et non négative $u_0 \in W^{1,q}_0(\Omega)$ du problème limite $(P_0)$ (où le membre de droite est $|u|^{s-2}u$). La convergence est établie dans $L^r(\Omega)$ pour $1 \leq r < q^*$ et presque partout.
• Non-trivialité : Les auteurs prouvent que les solutions sont non triviales en montrant que la mesure de l'ensemble où $u_\beta(x) > \beta$ est bornée loin de zéro pour de petites valeurs de $\beta$, garantissant que la solution ne s'annule pas ou ne se concentre pas entièrement en dessous du seuil.

Signification
Cet article contribue au développement de la théorie des opérateurs $(1, q)$-Laplaciens, un cadre qui reste largement inexploré par rapport aux problèmes standards du $p$-Laplacien. En combinant les techniques d'approximation avec l'analyse non lisse et la théorie des champs de divergence-mesure, les auteurs parviennent à traiter les doubles défis de la nature non réflexive du 1-Laplacien et de la discontinuité de la nonlinéarité. Ce travail étend les résultats précédents sur les problèmes du 1-Laplacien (par exemple, ceux de Pimenta et al. et de Figueiredo et al.) au cas mixte $(1, q)$, démontant que l'effet régularisant du $q$-Laplacien permet d'obtenir des solutions dans les espaces de Sobolev tout en maintenant la structure nécessaire pour gérer le terme singulier du 1-Laplacien.