Both $AA$ and $(A+1)(A+1)$ can be small

Resumen Técnico: "Tanto $AA$ como $(A + 1)(A + 1)$ pueden ser pequeños"

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una pregunta central en la combinatoria aditiva con respecto a la interacción entre las estructuras aditivas y multiplicativas dentro de subconjuntos de los números reales ($\mathbb{R}$). Un principio fundamental de la teoría suma-producto postula que los desplazamientos aditivos rompen la estructura multiplicativa. Específicamente, se espera generalmente que para un conjunto finito $A \subset \mathbb{R}$, al menos uno de los conjuntos producto $AA$ o el conjunto producto desplazado $(A+1)(A+1)$ deba ser grande.

El mejor límite inferior conocido para este máximo, establecido por Stevens y Warren, establece que $\max\{|AA|, |(A+1)(A+1)|\} \geq |A|^{1 + \frac{11}{38} - o(1)}$. Una conjetura de la tradición sugería que el exponente en esta desigualdad podría tomarse arbitrariamente cercano a 2, implicando que es imposible que ambos conjuntos sean simultáneamente pequeños (es decir, de tamaño $O(|A|^{2-\epsilon})$). Sin embargo, el trabajo reciente de Bloom, Sawin, Schildkraut y Zhelezov (BSZ) refutó la conjetura estándar de suma-producto sobre $\mathbb{R}$, sugiriendo que el exponente 2 podría no ser la barrera correcta. Este artículo investiga si la conjetura específica sobre la pequeñez simultánea de $AA$y$(A+1)(A+1)$ se mantiene.

Metodología
Los autores adaptan la construcción utilizada por BSZ para refutar la conjetura general de suma-producto. La metodología se basa en objetos teóricos numéricos dentro de un cuerpo numérico totalmente real $K$ de grado $d$ sobre $\mathbb{Q}$. La construcción procede de la siguiente manera:

1. Construcción de la Red: Utilizando un teorema de Martinet, los autores seleccionan un cuerpo numérico totalmente real $K$ con un discriminante $\Delta_K$ acotado por $C^d$. Consideran el anillo de enteros algebraicos $\mathcal{O}_K$ y su grupo de unidades $\mathcal{O}_K^*$.
2. Inmersiones Geométricas:
   • Estructura Aditiva: La inmersión de Minkowski $\phi: \mathcal{O}_K \to \mathbb{R}^d$ mapea los enteros algebraicos a una red $\Lambda$. Los autores definen un conjunto $B^+(R)$ de enteros algebraicos cuyas inmersiones yacen dentro de una caja de longitud de lado $2R$. El conjunto suma de este conjunto es pequeño porque permanece contenido dentro de una caja ligeramente mayor.
   • Estructura Multiplicativa: La inmersión logarítmica $\psi: \mathcal{O}_K^* \to \mathbb{R}^d$ mapea las unidades a una red de rango $d-1$ que yace en un hiperplano. Los autores definen un conjunto $B^*(Y)$ de unidades cuyas inmersiones logarítmicas yacen dentro de una caja de longitud de lado $2Y$. El conjunto producto de este conjunto es pequeño porque la multiplicación de unidades corresponde a la adición en la red logarítmica.
3. Definición del Conjunto: El conjunto objetivo $A$ se construye como el conjunto producto $A = GP$, donde $G = B^*(Y)$ (unidades) y $P = R + B^+(\epsilon R)$ (enteros algebraicos desplazados). Los parámetros $R$ y $Y$ se eligen de tal manera que $R$ sea suficientemente grande en relación con $Y$ (específicamente $e^Y \leq \epsilon R$) para asegurar la separación de la red de las unidades y la estructura aditiva.
4. Análisis de Tamaño:
   • El tamaño de $A$ es aproximadamente $|G||P|$.
   • El conjunto producto $AA$ se acota analizando $GG$y$PP$. La pequeñez de $GG$ se deriva de las propiedades de la red de las unidades.
   • El conjunto producto desplazado $(A+1)(A+1)$ se analiza reescribiendo los elementos como $g(p+1) = g(p + g^{-1})$. Esto permite a los autores acotar el conjunto utilizando el conjunto suma $P + G$. Al elegir $R$ lo suficientemente grande, se demuestra que $P+G$ está contenido dentro de un conjunto $P'$ cuyo tamaño es comparable al de $P$.

Contribuciones Clave y Resultados
El resultado principal es el Teorema 1, el cual establece la existencia de una constante absoluta $c > 0$ y conjuntos finitos arbitrariamente grandes $A \subseteq \mathbb{R}$ tales que:
$$\max\{|AA|, |(A+1)(A+1)|\} \ll |A|^{2-c}$$
Este resultado demuestra que el exponente en la desigualdad para el máximo de estos dos conjuntos no puede ser arbitrariamente cercano a 2, refutando así la conjetura de la tradición mencionada.

El artículo extiende además este resultado en el Teorema 3 a "Muchos Traslados". Muestra que para cualquier conjunto finito de enteros $S \subseteq \mathbb{Z}$, existe una constante $c > 0$ (dependiente de $S$) y conjuntos arbitrariamente grandes $A$ tales que:
$$\max_{\lambda \in S} \{|(A+\lambda)(A+\lambda)|\} \ll |A|^{2-c}$$
Adicionalmente, los autores señalan que su construcción implica que el conjunto $A$ también satisface $\max\{|A+A|, |AA|, |(A+1)(A+1)|\} \ll |A|^{2-c}$ y $|A(A+1)| \ll |A|^{2-c}$.

Significado
El artículo reclama significancia al proporcionar un contraejemplo a una suposición ampliamente creída en la combinatoria aditiva: que los desplazamientos aditivos necesariamente fuerzan una expansión significativa en la estructura multiplicativa. Al adaptar la construcción de BSZ, los autores muestran que es posible construir conjuntos donde tanto el conjunto producto como el conjunto producto desplazado son significativamente más pequeños que el límite trivial de $|A|^2$. Este trabajo desafía la intuición de que el exponente 2 es el límite natural para tales desigualdades de tipo suma-producto sobre los reales.

Los autores declaran explícitamente que la construcción utiliza el mismo conjunto subyacente que el artículo de BSZ, pero la aplicación específica al conjunto producto desplazado $(A+1)(A+1)$ constituye la contribución novedosa de esta nota. El trabajo sirve como una modificación de argumentos existentes para refutar una conjetura específica sobre el máximo de los conjuntos producto y producto desplazado.