Both $AA$ and $(A+1)(A+1)$ can be small

Résumé Technique : « À la fois $AA$ et $(A + 1)(A + 1)$ peuvent être petits »

Énoncé du Problème
L'article traite d'une question centrale en combinatoire additive concernant l'interaction entre les structures additives et multiplicatives au sein de sous-ensembles des nombres réels ($\mathbb{R}$). Un principe fondamental de la théorie somme-produit postule que les décalages additifs perturbent la structure multiplicative. Plus précisément, on s'attend généralement à ce que pour un ensemble fini $A \subset \mathbb{R}$, au moins l'un des ensembles produit $AA$ ou le produit décalé $(A+1)(A+1)$ soit grand.

La meilleure borne inférieure connue pour ce maximum, établie par Stevens et Warren, stipule que $\max\{|AA|, |(A+1)(A+1)|\} \geq |A|^{1 + \frac{11}{38} - o(1)}$. Une conjecture de la sagesse populaire suggérait que l'exposant dans cette inégalité pourrait être rendu arbitrairement proche de 2, impliquant qu'il est impossible que les deux ensembles soient simultanément petits (c'est-à-dire de taille $O(|A|^{2-\epsilon})$). Cependant, des travaux récents de Bloom, Sawin, Schildkraut et Zhelezov (BSZ) ont réfuté la conjecture standard de somme-produit sur $\mathbb{R}$, suggérant que l'exposant 2 pourrait ne pas être la barrière correcte. Cet article examine si la conjecture spécifique concernant la petitesse simultanée de $AA$ et $(A+1)(A+1)$ est vérifiée.

Méthodologie
Les auteurs adaptent la construction utilisée par BSZ pour réfuter la conjecture générale somme-produit. La méthodologie repose sur des objets de théorie des nombres au sein d'un corps de nombres totalement réel $K$ de degré $d$ sur $\mathbb{Q}$. La construction procède comme suit :

1. Construction de Réseau : En utilisant un théorème de Martinet, les auteurs sélectionnent un corps de nombres totalement réel $K$ dont le discriminant $\Delta_K$ est borné par $C^d$. Ils considèrent l'anneau des entiers algébriques $\mathcal{O}_K$ et son groupe d'unités $\mathcal{O}_K^*$.
2. Plongements Géométriques :
   • Structure Additive : Le plongement de Minkowski $\phi: \mathcal{O}_K \to \mathbb{R}^d$ associe les entiers algébriques à un réseau $\Lambda$. Les auteurs définissent un ensemble $B^+(R)$ d'entiers algébriques dont les plongements se situent à l'intérieur d'un cube de côté $2R$. La somme de cet ensemble est petite car elle reste contenue dans un cube légèrement plus grand.
   • Structure Multiplicative : Le plongement logarithmique $\psi: \mathcal{O}_K^* \to \mathbb{R}^d$ associe les unités à un réseau de rang $d-1$ situé dans un hyperplan. Les auteurs définissent un ensemble $B^*(Y)$ d'unités dont les plongements logarithmiques se situent à l'intérieur d'un cube de côté $2Y$. L'ensemble produit de cet ensemble est petit car la multiplication des unités correspond à l'addition dans le réseau logarithmique.
3. Définition de l'Ensemble : L'ensemble cible $A$ est construit comme le produit de l'ensemble $A = GP$, où$G = B^*(Y)$ (unités) et $P = R + B^+(\epsilon R)$ (entiers algébriques décalés). Les paramètres $R$ et $Y$ sont choisis de telle sorte que $R$ soit suffisamment grand par rapport à $Y$ (spécifiquement $e^Y \leq \epsilon R$) pour assurer la séparation du réseau des unités et de la structure additive.
4. Analyse de la Taille :
   • La taille de $A$ est approximativement $|G||P|$.
   • L'ensemble produit $AA$ est borné par l'analyse de $GG$ et $PP$. La petitesse de $GG$ découle des propriétés de réseau des unités.
   • Le produit décalé $(A+1)(A+1)$ est analysé en réécrivant les éléments comme $g(p+1) = g(p + g^{-1})$. Cela permet aux auteurs de borner l'ensemble en utilisant la somme $P + G$. En choisissant $R$ suffisamment grand, $P+G$ est montré être contenu dans un ensemble $P'$ dont la taille est comparable à $P$.

Contributions Clés et Résultats
Le résultat principal est le Théorème 1, qui établit l'existence d'une constante absolue $c > 0$ et d'ensembles finis $A \subseteq \mathbb{R}$ arbitrairement grands tels que :
$$\max\{|AA|, |(A+1)(A+1)|\} \ll |A|^{2-c}$$
Ce résultat démontre que l'exposant dans l'inégalité pour le maximum de ces deux ensembles ne peut pas être arbitrairement proche de 2, réfutant ainsi la conjecture susmentionnée.

L'article étend ensuite ce résultat dans le Théorème 3 aux « Nombreux Translés ». Il montre que pour tout ensemble fini d'entiers $S \subseteq \mathbb{Z}$, il existe une constante $c > 0$ (dépendante de $S$) et des ensembles $A$ arbitrairement grands tels que :
$$\max_{\lambda \in S} \{|(A+\lambda)(A+\lambda)|\} \ll |A|^{2-c}$$
De plus, les auteurs notent que leur construction implique que l'ensemble $A$ satisfait également $\max\{|A+A|, |AA|, |(A+1)(A+1)|\} \ll |A|^{2-c}$ et $|A(A+1)| \ll |A|^{2-c}$.

Signification
L'article revendique sa signification en fournissant un contre-exemple à une hypothèse largement admise en combinatoire additive : l'idée que les décalages additifs imposent nécessairement une expansion significative de la structure multiplicative. En adaptant la construction de BSZ, les auteurs montrent qu'il est possible de construire des ensembles où le produit et le produit décalé sont tous deux significativement plus petits que la borne triviale de $|A|^2$. Ce travail remet en question l'intuition selon laquelle l'exposant 2 est la limite naturelle pour de telles inégalités de type somme-produit sur les réels.

Les auteurs précisent explicitement que la construction utilise le même ensemble sous-jacent que l'article BSZ, mais que l'application spécifique au produit décalé $(A+1)(A+1)$ constitue la contribution novatrice de cette note. Le travail sert de modification d'arguments existants pour réfuter une conjecture spécifique concernant le maximum de produits et de produits décalés.