Both $AA$ and $(A+1)(A+1)$ can be small

Resumo Técnico: "Tanto AA quanto (A + 1)(A + 1) Podem Ser Pequenos"

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão central na combinatória aditiva referente à interação entre estruturas aditivas e multiplicativas dentro de subconjuntos dos números reais ($\mathbb{R}$). Um princípio fundamental da teoria soma-produto postula que deslocamentos aditivos perturbam a estrutura multiplicativa. Especificamente, espera-se geralmente que, para um conjunto finito $A \subset \mathbb{R}$, pelo menos um dos conjuntos produto $AA$ ou o conjunto produto deslocado $(A+1)(A+1)$ deva ser grande.

O melhor limite inferior conhecido para esse máximo, estabelecido por Stevens e Warren, afirma que $\max\{|AA|, |(A+1)(A+1)|\} \geq |A|^{1 + \frac{11}{38} - o(1)}$. Uma conjectura folclórica sugeriu que o expoente na desigualdade poderia ser levado arbitrariamente próximo de 2, implicando que é impossível que ambos os conjuntos sejam simultaneamente pequenos (ou seja, de tamanho $O(|A|^{2-\epsilon})$). No entanto, o trabalho recente de Bloom, Sawin, Schildkraut e Zhelezov (BSZ) refutou a conjectura soma-produto padrão sobre $\mathbb{R}$, sugerindo que o expoente 2 pode não ser a barreira correta. Este artigo investiga se a conjectura específica sobre a pequenez simultânea de $AA$e$(A+1)(A+1)$ é verdadeira.

Metodologia
Os autores adaptam a construção utilizada por BSZ para refutar a conjectura geral soma-produto. A metodologia baseia-se em objetos da teoria dos números dentro de um corpo numérico totalmente real $K$ de grau $d$ sobre $\mathbb{Q}$. A construção procede da seguinte forma:

1. Construção de Rede (Lattice): Utilizando um teorema de Martinet, os autores selecionam um corpo numérico totalmente real $K$ com um discriminante $\Delta_K$ limitado por $C^d$. Eles consideram o anel de inteiros algébricos $\mathcal{O}_K$ e seu grupo de unidades $\mathcal{O}_K^*$.
2. Imersões Geométricas:
   • Estrutura Aditiva: A imersão de Minkowski $\phi: \mathcal{O}_K \to \mathbb{R}^d$ mapeia inteiros algébricos para uma rede $\Lambda$. Os autores definem um conjunto $B^+(R)$ de inteiros algébricos cujas imersões residem dentro de uma caixa de comprimento de lado $2R$. O conjunto soma deste conjunto é pequeno porque permanece contido dentro de uma caixa ligeiramente maior.
   • Estrutura Multiplicativa: A imersão logarítmica $\psi: \mathcal{O}_K^* \to \mathbb{R}^d$ mapeia unidades para uma rede de posto $d-1$ situada em um hiperplano. Os autores definem um conjunto $B^*(Y)$ de unidades cujas imersões logarítmicas residem dentro de uma caixa de comprimento de lado $2Y$. O conjunto produto deste conjunto é pequeno porque a multiplicação de unidades corresponde à adição na rede logarítmica.
3. Definição do Conjunto: O conjunto alvo $A$ é construído como o conjunto produto $A = GP$, onde $G = B^*(Y)$ (unidades) e $P = R + B^+(\epsilon R)$ (inteiros algébricos deslocados). Os parâmetros $R$ e $Y$ são escolhidos de tal forma que $R$ seja suficientemente grande em relação a $Y$ (especificamente $e^Y \leq \epsilon R$) para garantir a separação da rede de unidades e da estrutura aditiva.
4. Análise de Tamanho:
   • O tamanho de $A$ é aproximadamente $|G||P|$.
   • O conjunto produto $AA$ é limitado através da análise de $GG$e$PP$. A pequenez de $GG$ é derivada das propriedades de rede das unidades.
   • O conjunto produto deslocado $(A+1)(A+1)$ é analisado reescrevendo os elementos como $g(p+1) = g(p + g^{-1})$. Isso permite aos autores limitar o conjunto usando o conjunto soma $P + G$. Ao escolher $R$ suficientemente grande, mostra-se que $P+G$ está contido em um conjunto $P'$ cujo tamanho é comparável a $P$.

Contribuições Principais e Resultados
O resultado primário é o Teorema 1, que estabelece a existência de uma constante absoluta $c > 0$ e conjuntos finitos arbitrariamente grandes $A \subseteq \mathbb{R}$ tais que:
$$\max\{|AA|, |(A+1)(A+1)|\} \ll |A|^{2-c}$$
Este resultado demonstra que o expoente na desigualdade para o máximo desses dois conjuntos não pode ser levado arbitrariamente próximo de 2, refutando assim a mencionada conjectura folclórica.

O artigo estende ainda este resultado no Teorema 3 para "Muitos Translados". Ele mostra que, para qualquer conjunto finito de inteiros $S \subseteq \mathbb{Z}$, existe uma constante $c > 0$ (dependente de $S$) e conjuntos arbitrariamente grandes $A$ tais que:
$$\max_{\lambda \in S} \{|(A+\lambda)(A+\lambda)|\} \ll |A|^{2-c}$$
Adicionalmente, os autores observam que a construção deles implica que o conjunto $A$ também satisfaz $\max\{|A+A|, |AA|, |(A+1)(A+1)|\} \ll |A|^{2-c}$ e $|A(A+1)| \ll |A|^{2-c}$.

Significância
O artigo reivindica significância ao fornecer um contraexemplo a uma suposição amplamente acreditada na combinatória aditiva: que deslocamentos aditivos necessariamente forçam uma expansão significativa na estrutura multiplicativa. Ao adaptar a construção BSZ, os autores mostram que é possível construir conjuntos onde tanto o conjunto produto quanto o conjunto produto deslocado são significativamente menores que o limite trivial de $|A|^2$. Este trabalho desafia a intuição de que o expoente 2 é o limite natural para tais desigualdades do tipo soma-produto sobre os reais.

Os autores declaram explicitamente que a construção utiliza o mesmo conjunto subjacente do artigo BSZ, mas a aplicação específica ao conjunto produto deslocado $(A+1)(A+1)$ constitui a contribuição original desta nota. O trabalho serve como uma modificação de argumentos existentes para refutar uma conjectura específica sobre o máximo de conjuntos produto e produtos deslocados.