Operator Learning on the Data-Driven Multiscale Space for Nonlinear Flow in Random Heterogeneous Porous Media

Resumen Técnico: Aprendizaje de Operadores en el Espacio Multiescala Basado en Datos para Flujo No Lineal en Medios Porosos Heterogéneos Aleatorios

Formulación del Problema
El artículo aborda el desafío de simular el flujo monofásico no lineal en medios porosos heterogéneos aleatorios. Las ecuaciones gobernantes incluyen la conservación de la masa acoplada con leyes de flujo no lineales, específicamente la ley de Darcy con permeabilidad exponencial dependiente de la presión y la ley de Forchheimer. Estos problemas se caracterizan por campos de permeabilidad de alto contraste que contienen canales, barreras y estructuras multiescala complejas. Las soluciones numéricas tradicionales en mallas finas son computacionalmente costosas, particularmente cuando se repiten para múltiples realizaciones del medio aleatorio. Aunque las técnicas de Reducción de Orden de Modelo (MOR) como la Descomposición de Órdenes Propios (POD) y la proyección de Galerkin ofrecen aceleración, a menudo tienen dificultades con las características localizadas de los medios heterogéneos. Los bases reducidos globales pueden fallar al capturar patrones de flujo locales de manera eficiente, y los métodos de proyección para problemas no lineales aún requieren resoluciones en línea costosas y aproximaciones de términos no lineales (por ejemplo, mediante DEIM).

Metodología
Los autores proponen un marco híbrido que unifica la aproximación multiescala basada en datos con el aprendizaje de operadores neuronales. La metodología consta de tres componentes principales:

1. Construcción de un Espacio Multiescala Local Basado en Datos:
   En lugar de utilizar un base reducida global, el método construye un espacio multiescala local ($V_{ms}$) a partir de instantáneas (snapshots) de soluciones en malla fina.

   • Compresión Local: El dominio se particiona en vecindades de escala gruesa. Dentro de cada vecindad, se aplica POD local a un conjunto de instantáneas representativas de la solución a escala fina.
   • Selección de Representativos: Para reducir los costos fuera de línea (offline), se seleccionan muestras representativas mediante agrupamiento k-means de los campos de log-permeabilidad local, asegurando que la base capture los patrones de flujo local dominantes sin redundancia de instantáneas.
   • Base Global: Los modos locales se extienden al dominio global utilizando funciones de partición de la unidad, creando una base multiescala dispersa y conforme. Este espacio se adapta a las heterogeneidades locales de manera más efectiva que una única base global.

2. Aprendizaje de Operadores Neuronales en el Espacio Reducido:
   Un operador neuronal es entrenado para aprender el mapeo desde el campo de permeabilidad de entrada hacia los coeficientes de la base multiescala, en lugar de predecir la solución completa de la malla fina.

   • Arquitectura: El modelo sigue una estructura similar a DeepONet con un "tronco" (trunk) fijo (las funciones de la base multiescala precomputadas) y una red de "rama" (branch) entrenable (un perceptrón multicapa). La red de rama mapea el campo de log-permeabilidad de entrada al vector de coeficientes reducidos.
   • Entrenamiento Robusto a la Discretización: Para desacoplar el proceso de aprendizaje de las resoluciones específicas de la malla fina y reducir los costos de entrenamiento, los autores introducen un operador de interpolación lineal que mapea los datos de la malla fina a una "rejilla de aprendizaje" más gruesa. La red neuronal se entrena sobre esta representación reducida, lo que permite que el mismo modelo se aplique a diferentes resoluciones de malla fina sin necesidad de reentrenamiento.

3. Estrategia Híbrida de Aprendizaje-Solucionador:
   Para abordar las posibles imprecisiones en la norma de energía y la satisfacción del residuo causadas por la representación de orden reducido y el entrenamiento robusto a la discretización, se introduce un paso de corrección local.

   • El operador neuronal proporciona una predicción global rápida inicial.
   • Se realizan un número pequeño de iteraciones de corrección local. En cada iteración, se calcula el residuo de las ecuaciones gobernantes y se resuelven problemas locales de malla fina en vecindades de escala gruesa para corregir la solución. Este proceso es totalmente paralelizable y recupera la información de escala fina faltante.

Contribuciones Clave

• Representación Local vs. Global: El artículo demuestra que un espacio multiescala local basado en datos es más efectivo que los espacios POD globales para medios heterogéneos con canales de alto contraste. La base local se adapta a configuraciones de flujo locales específicas dentro de las vecindades, mientras que las bases globales luchan por representar diversas configuraciones locales con un número limitado de modos.
• Eliminación de Resoluciones en Línea (Online Solves): A diferencia del modelado de orden reducido (ROM) tradicional, que requiere resolver un sistema no lineal reducido en línea, el operador neuronal propuesto predice directamente los coeficientes de la solución a partir de los parámetros de entrada, eliminando la necesidad de resoluciones no lineales costosas en línea en la malla gruesa.
• Robustez a la Discretización: El procedimiento de entrenamiento permite que un único modelo entrenado opere a través de diferentes resoluciones de malla fina, una ventaja significativa para aplicaciones prácticas donde la resolución de la rejilla puede variar.
• Precisión Híbrida: La combinación de la predicción neuronal con la corrección multiescala local mejora significativamente la precisión de la norma de energía manteniendo la velocidad computacional del operador neuronal.

Resultados Numéricos
El marco fue probado en problemas de flujo no lineal de Darcy, Forchheimer y combinados utilizando dos tipos de medios heterogéneos: campos basados en la expansión de Karhunen–Loève (KLE) y campos canalizados de alto contraste.

• Precisión: El operador neuronal entrenado en el espacio multiescala local logró errores de $L_2$ competitivos en comparación con la resolución de Galerkin en malla gruesa. En los casos de canales altamente heterogéneos (Prueba 2), el tronco multiescala local superó a los troncos POD globales en términos de error $L_2$.
• Eficiencia: Se encontró que la predicción del operador neuronal era órdenes de magnitud más rápida tanto que los solucionadores de malla fina como que las resoluciones de orden reducido de Galerkin. Para una rejilla de $960 \times 960$, el operador neuronal fue aproximadamente tres órdenes de magnitud más rápido que la resolución de Darcy en malla fina y cuatro órdenes de magnitud más rápido que las resoluciones no lineales de malla fina.
• Eficacia de la Corrección: Las iteraciones de corrección multiescala local redujeron rápidamente los errores de la norma de energía. Típicamente, se requirieron solo unas pocas iteraciones (por ejemplo, de 3 a 5) para alcanzar una alta precisión, confirmando que la predicción neuronal captura eficazmente la estructura global dominante.

Significado y Reivindicaciones
Los autores afirman que este marco proporciona un sustituto (surrogate) escalable, preciso y eficiente para el flujo no lineal en medios porosos heterogéneos. Al aprovechar las propiedades de aproximación de los espacios multiescala localizados y el poder de representación no lineal de los operadores neuronales, el método supera las limitaciones de los modelos de orden reducido globales. El enfoque apunta específicamente a la dificultad de resolver características de escala fina en medios de alto contraste sin la carga computacional de simulaciones repetidas en malla fina o resoluciones de orden reducido en línea. La inclusión de una estrategia de entrenamiento robusta a la discretización mejora aún más la aplicabilidad práctica del método para problemas con variaciones en la resolución de la rejilla.