Operator Learning on the Data-Driven Multiscale Space for Nonlinear Flow in Random Heterogeneous Porous Media

Technische Samenvatting: Operator Learning op de Datagestuurde Multiscale Ruimte voor Nietlineaire Stroming in Willekeurige Heterogene Poreuze Media

Probleemformulering
Het artikel behandelt de uitdaging van het simuleren van nietlineaire enkelvoudige fase stroming in willekeurige heterogene poreuze media. De beheersende vergelijkingen omvatten massabehoud gekoppeld aan nietlineaire fluxwetten, specifiek de wet van Darcy met drukafhankelijke exponentiële permeabiliteit en de Forchheimer-wet. Deze problemen worden gekenmerkt door hoogcontrastieve permeabiliteitsvelden met kanalen, barrières en complexe multiscale structuren. Traditionele numerieke oplossingen op fijnmazige roosters zijn computationeel duur, vooral wanneer deze herhaaldelijk moeten worden uitgevoerd voor meerdere realisaties van het willekeurige medium. Hoewel technieken voor Modelordereductie (MOR), zoals Proper Orthogonal Decomposition (POD) en Galerkin-projectie, versnelling bieden, worstelen zij vaak met de gelokaliseerde kenmerken van heterogene media. Globale gereduceerde bases kunnen lokale stromingspatronen niet efficiënt vastleggen, en projectiemethoden voor nietlineaire problemen vereisen nog steeds dure online oplossingen en benaderingen van nietlineaire termen (bijv. via DEIM).

Methodologie
De auteurs stellen een hybride framework voor dat datagestuurde multiscale benadering verenigt met neural operator learning. De methodologie bestaat uit drie primaire componenten:

1. Constructie van een Lokale Datagestuurde Multiscale Ruimte:
   In plaats van een globale gereduceerde basis te gebruiken, construeert de methode een lokale multiscale ruimte ($V_{ms}$) vanuit fine-grid oplossing-snapshots.

• Lokale Compressie: Het domein wordt verdeeld in grove buurten (neighborhoods). Binnen elke buurt wordt lokale Proper Orthogonal Decomposition (POD) toegepast op een set representatieve fine-scale oplossing-snapshots.
• Selectie van Representatieve Voorbeelden: Om de offline kosten te verlagen, worden representatieve monsters geselecteerd via k-means clustering van lokale log-permeabiliteitsvelden, waardoor de basis de dominante lokale stromingspatronen vastlegt zonder redundante snapshots.
• Globale Basis: Lokale modi worden naar het globale domein uitgebreid met behulp van partition-of-unity functies, wat een ijle (sparse), conforme multiscale basis creëert. Deze ruimte past zich effectiever aan lokale heterogeniteiten aan dan een enkele globale basis.

2. Neural Operator Learning op de Gereduceerde Ruimte:
   Een neural operator wordt getraind om de mapping te leren van het invoer-permeabiliteitsveld naar de coëfficiënten van de multiscale basis, in plaats van het voorspellen van de volledige fine-grid oplossing.

• Architectuur: Het model volgt een DeepONet-achtige structuur met een vaste "trunk" (de vooraf berekende multiscale basisfuncties) en een trainbare "branch" netwerk (een multilayer perceptron). Het branch netwerk brengt het invoer log-permeabiliteitsveld in kaart naar de gereduceerde coëfficiëntvector.
• Discretisatie-robuuste Training: Om het leerproces te ontkoppelen van specifieke fine-grid resoluties en de trainingskosten te verlagen, introduceren de auteurs een lineaire interpolatie-operator die fine-grid data naar een grover "leer-grid" brengt. Het neurale netwerk wordt getraind op deze gereduceerde representatie, waardoor hetzelfde model kan worden toegepast op verschillende fine-grid resoluties zonder hertraining.

3. Hybride Learning-Solver Strategie:
   Om potentiële onnauwkeurigheden in de energiemorm en de voldoening van de residu (residual satisfaction) aan te pakken, die veroorzaakt kunnen worden door de gereduceerde-orde representatie en discretisatie-robuuste training, wordt een lokale correctiestap geïntroduceerd.

• De neurale operator levert een snelle initiële globale voorspelling.
• Een klein aantal lokale correctie-iteraties wordt uitgevoerd. In elke iteratie wordt het residu van de beheersende vergelijkingen berekend en worden lokale fine-grid problemen op grove buurten opgelost om de oplossing te corrigeren. Dit proces is volledig paralleliseerbaar en herstelt de ontbrekende fine-scale informatie.

Belangrijkste Bijdragen

• Lokale vs. Globale Representatie: Het artikel toont aan dat een lokale datagestuurde multiscale ruimte effectiever is dan globale POD-ruimtes voor heterogene media met hoogcontrastieve kanalen. De lokale basis past zich aan specifieke stromingspatronen binnen buurten aan, terwijl globale bases moeite hebben met het representeren van diverse lokale configuraties met een beperkt aantal modi.
• Eliminatie van Online Oplossingen: In tegenstelling tot traditionele reduced-order modeling (ROM), die een online oplossing van een gereduceerd nietlineair systeem vereist, voorspelt de voorgestelde neurale operator direct de oplossingscoëfficiënten vanuit de invoerparameters, waardoor de noodzaak voor online nietlineaire grove-grid oplossingen vervalt.
• Discretisatie-robuustheid: De trainingsprocedure maakt het mogelijk dat één getraind model opereert over verschillende fine-grid resoluties, wat een aanzienlijk voordeel is voor praktische toepassingen waarbij de grid-resolutie kan variëren.
• Hybride Nauwkeurigheid: De combinatie van neurale voorspelling met lokale multiscale correctie verbetert de energie-norm nauwkeurigheid aanzienlijk, terwijl de computationele snelheid van de neurale operator behouden blijft.

Numerieke Resultaten
Het framework werd getest op Darcy, Forchheimer, en gecombineerde nietlineaire stromingsproblemen met behulp van twee typen heterogene media: Karhunen–Loève expansie (KLE) gebaseerde velden en kanaalvormige hoogcontrastieve velden.

• Nauwkeurigheid: De neurale operator getraind op de lokale multiscale ruimte bereikte concurrerende $L_2$ fouten vergeleken met de Galerkin grove-grid oplossing. In zeer heterogene kanaalvormige gevallen (Test 2) presteerde de lokale multiscale trunk beter dan globale POD trunks in termen van $L_2$ fout.
• Efficiëntie: De neurale operator voorspelling was ordes van grootte sneller dan zowel de fine-grid solvers als de gereduceerde-orde Galerkin oplossingen. Voor een $960 \times 960$ grid was de neurale operator ongeveer drie ordes van grootte sneller dan de Darcy fine solve en vier ordes van grootte sneller dan nietlineaire fine solves.
• Correctie Effectiviteit: De lokale multiscale correctie-iteraties verminderden de energie-norm fouten snel. Typisch waren slechts enkele iteraties (bijv. 3 tot 5) nodig om een hoge nauwkeurigheid te bereiken, wat bevestigt dat de neurale voorspelling de dominante globale structuur effectief vastlegt.

Betekenis en Claims
De auteurs claimen dat dit framework een schaalbare, nauwkeurige en efficiënte surrogaat biedt voor nietlineaire stroming in heterogene poreuze media. Door gebruik te maken van de benaderingseigenschappen van gelokaliseerde multiscale ruimtes en de nietlineaire representatiekracht van neurale operators, overwint de methode de beperkingen van globale reduced-order modellen. De aanpak richt zich specifiek op de moeilijkheid van het resolveren van fine-scale kenmerken in hoogcontrastieve media zonder de computationele last van herhaalde fine-grid simulaties of online reduced-order oplossingen. De inclusie van een discretisatie-robuuste trainingsstrategie verhoogt verder de praktische toepasbaarheid van de methode voor problemen met variërende grid-resoluties.