Operator Learning on the Data-Driven Multiscale Space for Nonlinear Flow in Random Heterogeneous Porous Media

Resumo Técnico: Aprendizado de Operador no Espaço Multiescala Baseado em Dados para Fluxo Não Linear em Meios Porosos Heterogêneos Aleatórios

Formulação do Problema
O artigo aborda o desafio de simular o fluxo monofásico não linear em meios porosos heterogêneos aleatórios. As equações governantes incluem a conservação de massa acoplada a leis de fluxo não lineares, especificamente a lei de Darcy com permeabilidade exponencial dependente da pressão e a lei de Forchheimer. Esses problemas são caracterizados por campos de permeabilidade de alto contraste contendo canais, barreiras e estruturas multiescala complexas. As soluções numéricas tradicionais em malha fina são computacionalmente dispendiosas, particularmente quando repetidas para múltiplas realizações do meio aleatório. Embora as técnicas de Redução de Ordem de Modelo (MOR), como a Decomposição de Órdem Própria (POD) e a projeção de Galerkin, ofereçam aceleração, elas frequentemente têm dificuldade em capturar as características localizadas de meios heterogêneos. Bases reduzidas globais podem falhar em capturar padrões de fluxo locais de forma eficiente, e métodos de projeção para problemas não lineares ainda exigem resoluções online caras e aproximações de termos não lineares (ex: DEIM).

Metodologia
Os autores propõem uma estrutura híbrida que unifica a aproximação multiescala baseada em dados com o aprendizado de operador neural. A metodologia consiste em três componentes primários:

1. Construção de Espaço Multiescala Local Baseado em Dados:
   Em vez de usar uma base reduzida global, o método constrói um espaço multiescala local ($V_{ms}$) a partir de snapshots de solução em malha fina.

• Compressão Local: O domínio é particionado em vizinhanças grosseiras. Dentro de cada vizinhança, a POD local é aplicada a um conjunto de snapshots representativos de solução em escala fina.
• Seleção de Representativos: Para reduzir os custos offline, amostras representativas são selecionadas via agrupamento k-means de campos de log-permeabilidade locais, garantindo que a base capture os padrões de fluxo locais dominantes sem redundância de snapshots.
• Base Global: Os modos locais são estendidos ao domínio global usando funções de partição da unidade, criando uma base multiescala esparsa e conforme. Este espaço se adapta às heterogeneidades locais de forma mais eficaz do que uma base global única.

2. Aprendizado de Operador Neural no Espaço Reduzido:
   Um operador neural é treinado para aprender o mapeamento do campo de log-permeabilidade para o vetor de coeficientes da base multiescala, em vez de prever a solução completa em malha fina.

• Arquitetura: O modelo segue uma estrutura semelhante à DeepONet, com um "tronco" (trunk) fixo (as funções de base multiescala pré-computadas) e uma rede "ramo" (branch) treinável (um perceptron de múltiplas camadas). A rede ramo mapeia o campo de log-permeabilidade de entrada para o vetor de coeficientes reduzidos.
• Treinamento Robusto à Discretização: Para desacoplar o processo de aprendizado de resoluções específicas de malha fina e reduzir os custos de treinamento, os autores introduzem um operador de interpolação linear que mapeia dados de malha fina para uma "grade de aprendizado" mais grosseira. A rede neural é treinada nesta representação reduzida, permitindo que o mesmo modelo seja aplicado a diferentes resoluções de malha fina sem necessidade de retreinamento.

3. Estratégia Híbrida de Aprendizado-Solucionador:
   Para abordar possíveis imprecisões na norma de energia e na satisfação do resíduo causadas pela representação de ordem reduzida e pelo treinamento robusto à discretização, uma etapa de correção local é introduzida.

• O operador neural fornece uma previsão global inicial rápida.
• Um pequeno número de iterações de correção local é realizado. Em cada iteração, o resíduo das equações governantes é computado e problemas locais em malha fina são resolvidos em vizinhanças grosseiras para corrigir a solução. Este processo é totalmente paralelizável e recupera a informação de escala fina ausente.

Principais Contribuições

• Representação Local vs. Global: O artigo demonstra que um espaço multiescala local baseado em dados é mais eficaz do que espaços POD globais para meios heterogêneos com canais de alto contraste. A base local se adapta a padrões de fluxo específicos dentro das vizinhanças, enquanto as bases globais têm dificuldade em representar diversas configurações locais com um número limitado de modos.
• Eliminação de Soluções Online: Ao contrário da modelagem de ordem reduzida (ROM) tradicional, que requer a resolução de um sistema não linear reduzido online, o operador neural proposto prevê diretamente os coeficientes da solução a partir dos parâmetros de entrada, eliminando a necessidade de resoluções grosseiras não lineares online.
• Robustez à Discretização: O procedimento de treinamento permite que um único modelo treinado opere em diferentes resoluções de malha fina, uma vantagem significativa para aplicações práticas onde a resolução da grade pode variar.
• Precisão Híbrida: A combinação da previsão neural com a correção multiescala local melhora significativamente a precisão da norma de energia, mantendo a velocidade computacional do operador neural.

Resultados Numéricos
A estrutura foi testada em problemas de fluxo não linear de Darcy, Forchheimer e combinados, utilizando dois tipos de meios heterogêneos: campos baseados em expansão de Karhunen–Loève (KLE) e campos canalizados de alto contraste.

• Precisão: O operador neural treinado no espaço multiescala local alcançou erros de $L_2$ competitivos em comparação com a resolução de Galerkin em malha grosseira. Em casos altamente heterogêneos e canalizados (Teste 2), o tronco multiescala local superou os troncos POD globais em termos de erro $L_2$.
• Eficiência: A previsão do operador neural mostrou-se ordens de magnitude mais rápida do que tanto os solucionadores de malha fina quanto as resoluções de ordem reduzida de Galerkin. Para uma grade de $960 \times 960$, o operador neural foi aproximadamente três ordens de magnitude mais rápido que a resolução fina de Darcy e quatro ordens de magnitude mais rápido que as resoluções finas não lineares.
• Eficácia da Correção: As iterações de correção multiescala local reduziram rapidamente os erros de norma de energia. Tipicamente, apenas algumas iterações (ex: 3 a 5) foram necessárias para atingir alta precisão, confirmando que a previsão neural captura efetivamente a estrutura global dominante.

Significância e Alegações
Os autores afirmam que esta estrutura fornece um substituto (surrogate) escalável, preciso e eficiente para o fluxo não linear em meios porosos heterogêneos. Ao alavancar as propriedades de aproximação de espaços multiescala localizados e o poder de representação não linear de operadores neurais, o método supera as limitações dos modelos de ordem reduzida globais. A abordagem visa especificamente a dificuldade de resolver características de escala fina em meios de alto contraste sem o fardo computacional de simulações repetidas em malha fina ou resoluções de ordem reduzida online. A inclusão de uma estratégia de treinamento robusta à discretização aumenta ainda mais a aplicabilidade prática do método para problemas com variadas resoluções de grade.