Optimal shaping filter design for data-driven feedforward controller tuning

Resumen Técnico: Diseño de Filtro de Modelado Óptimo para el Ajuste de Controladores Feedforward Basado en Datos

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda el problema de coincidencia de modelos basado en datos dentro de sistemas de control de dos grados de libertad (2-DOF). Específicamente, se centra en el ajuste de un controlador feedforward, $C_{ff}(\rho)$, utilizando datos de entrada-salida de un experimento preliminar para minimizar la discrepancia entre el sistema de lazo cerrado, $T(\rho)$, y un modelo de referencia deseado, $T_d$.

Si bien un enfoque común implica identificar el controlador "óptimo" (aquel que logra una coincidencia de modelo perfecta) directamente a partir de los datos, el artículo argumenta que esto es insuficiente. En escenarios donde la estructura del controlador es fija y no puede representar perfectamente el modelo inverso ideal (es decir, $C^*_{ff} \notin \mathcal{C}$), minimizar el error entre el controlador identificado y el controlador óptimo no garantiza la minimización del error real de desempeño de control. Esta brecha existe porque la similitud en los parámetros del controlador no implica inmediatamente una similitud en el desempeño de lazo cerrado. Para cerrar esta brecha, se introduce un filtro de modelado (o prefiltro), $L$, en la función de costo. Sin embargo, diseñar un filtro de modelado óptimo que dependa únicamente de los datos disponibles, en lugar del verdadero proceso $P$ desconocido, sigue siendo un desafío significativo.

Metodología
El artículo formula el problema como la búsqueda de un parámetro $\rho$ que minimice la norma $H_2$ ponderada del error de coincidencia del modelo:
$$J(\rho) = \|W(T(\rho) - T_d)\|^2$$
donde $W$ es una función de ponderación y $P$ es desconocido.

El autor propone una función de costo basada en datos utilizando un filtro de modelado $L$:
$$J_L(\rho) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( L(T_d u^0_k - C_{ff}(\rho) y^0_k) \right)^2$$
donde $u^0_k$ y $y^0_k$ son datos de entrada-salida de un experimento preliminar con un parámetro feedforward inicial $\rho_0$.

La metodología central consiste en derivar el $L$ óptimo de tal manera que la minimización de $J_L(\rho)$ sea asintóticamente equivalente a la minimización de la métrica de desempeño real $J(\rho)$ cuando la longitud de los datos $N \to \infty$. La derivación asume:

1. El sistema no tiene ruido.
2. El lazo de retroalimentación inicial es internamente estable.
3. El espectro de la señal de referencia es conocido (ya sea una señal escalón generada por un filtro $R$ o ruido blanco filtrado por $R$).

Contribuciones Clave
La contribución principal de este trabajo es la derivación explícita del filtro de modelado óptimo para el ajuste de feedforward basado en datos cuando la coincidencia de modelo perfecta no es alcanzable debido a restricciones estructurales. El filtro propuesto es:
$$L = \frac{1}{C_{ff}(\rho_0) + T_d C_{fb}} \frac{W}{R} \frac{1}{z^m}$$
donde $C_{fb}$ es el controlador de retroalimentación, $T_d$ es el modelo de referencia y $z^{-m}$ es un retardo puro para asegurar que el filtro sea propio.

Las propiedades clave de esta contribución incluyen:

• Constructibilidad: El filtro se construye enteramente a partir de la información disponible (datos iniciales, controladores conocidos, modelo de referencia y espectro de la señal) sin requerir el conocimiento del proceso $P$ desconocido.
• Optimalidad: El artículo demuestra que minimizar la función de costo con este $L$ específico produce el mismo parámetro óptimo $\rho$ que minimizar el costo de desempeño real $J(\rho)$ en el límite de datos infinitos.
• Relación con ERIT: El artículo establece un vínculo teórico entre el método propuesto y el Ajuste Iterativo de Respuesta Estimada (ERIT). Demuestra que ERIT es un caso especial del marco propuesto y es óptimo cuando la función de ponderación $W$ se elige exactamente como el filtro de la señal de referencia $R$ (es decir, cuando se utiliza la misma señal de referencia en el experimento de ajuste).

Resultos
La efectividad del filtro de modelado propuesto se valida mediante dos casos de estudio:

1. Ejemplo Numérico:

   • Se utilizó un sistema lineal e invariante en el tiempo con una estructura feedforward simple (insuficiente para igualar perfectamente el modelo de referencia).
   • Caso 1 ($W=1$): El filtro de modelado óptimo exhibió un comportamiento de paso alto. Aunque el controlador ajustado sin el filtro estaba más cerca del controlador "ideal" en el espacio de parámetros, su desempeño fue peor en términos de seguimiento de lazo cerrado. El ajuste habilitado por el filtro mejoró significativamente la respuesta de lazo cerrado para coincidir con el modelo de referencia, particularmente en el rango de alta frecuencia.
   • Caso 2 ($W=R$): Este escenario corresponde a la configuración ERIT. Los resultados mostraron que el uso del filtro de modelado (equivalente a ERIT) redujo el error cuadrático de seguimiento en aproximadamente un 43% en comparación con el ajuste sin el filtro, eliminando eficazmente las oscilaciones en la salida.

2. Experimento Práctico:

   • Se realizaron experimentos en una Unidad de Base de Servo Rotatorio Quanser con una entrada de referencia escalón.
   • Se empleó la proyección de señales para mitigar la influencia del ruido.
   • El controlador actualizado utilizando el filtro de modelado propuesto realizó un seguimiento de la salida deseada significativamente mejor que el controlador ajustado sin el filtro.
   • La suma de los errores cuadráticos para el método propuesto fue de 0.26, frente a 0.76 para el método sin el filtro de modelado y 0.81 para el controlador inicial.

Significancia y Afirmaciones
El artículo afirma que el filtro de modelado propuesto proporciona una solución rigurosa al problema de coincidencia de modelos basado en datos para controladores feedforward donde la estructura del controlador es limitada. Al construir el filtro óptimo a partir de los datos disponibles, el método evita las trampas de la identificación directa del controlador, que puede conducir a un desempeño subóptimo incluso con datos libres de ruido.

El autor señala modestamente que el trabajo actual se centra en las propiedades asintóticas (N grande). Identifican la investigación de las propiedades estadísticas con cantidades limitadas de datos como una dirección necesaria para la investigación futura. El trabajo refuerza la utilidad de las estructuras de control 2-DOF, donde la estabilidad es más fácil de garantizar en comparación con el ajuste de solo retroalimentación, siempre que el controlador feedforward actualizado permanezca estable.