Optimal shaping filter design for data-driven feedforward controller tuning

Resumo Técnico: Design de Filtro de Modelagem Ótimo para Ajuste de Controlador Feedforward Baseado em Dados

Definição do Problema
Este artigo aborda o problema de correspondência de modelo baseado em dados dentro de sistemas de controle de dois graus de liberdade (2-DOF). Especificamente, foca no ajuste de um controlador feedforward, $C_{ff}(\rho)$, utilizando dados de entrada-saída de um experimento preliminar para minimizar a discrepância entre o sistema de malha fechada, $T(\rho)$, e um modelo de referência desejado, $T_d$.

Embora uma abordagem comum envolva a identificação do controlador "ótimo" (aquele que alcança a correspondência de modelo perfeita) diretamente a partir dos dados, o artigo argumenta que isso é insuficiente. Em cenários onde a estrutura do controlador é fixa e não pode representar perfeitamente o modelo inverso ideal (ou seja, $C^*_{ff} \notin \mathcal{C}$), minimizar o erro entre o controlador identificado e o controlador ótimo não garante a minimização do erro de desempenho de controle real. Essa lacuna existe porque a similaridade nos parâmetros do controlador não implica imediatamente na similaridade no desempenho de malha fechada. Para preencher essa lacuna, um filtro de modelagem (ou prefiltro), $L$, é introduzido na função de custo. No entanto, projetar um filtro de modelagem ótimo que dependa apenas de dados disponíveis, em vez do verdadeiro processo desconhecido $P$, permanece um desafio significativo.

Metodologia
O artigo formula o problema como a busca por um parâmetro $\rho$ que minimize a norma $H_2$ ponderada do erro de correspondência de modelo:
$$J(\rho) = \|W(T(\rho) - T_d)\|^2$$
onde $W$ é uma função de peso e $P$ é desconhecido.

O autor propõe uma função de custo baseada em dados utilizando um filtro de modelagem $L$:
$$J_L(\rho) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( L(T_d u^0_k - C_{ff}(\rho) y^0_k) \right)^2$$
onde $u^0_k$ e $y^0_k$ são dados de entrada-saída de um experimento preliminar com um parâmetro feedforward inicial $\rho_0$.

A metodologia central envolve a derivação do $L$ ótimo tal que a minimização de $J_L(\rho)$ seja assintoticamente equivalente à minimização da métrica de desempenho real $J(\rho)$ conforme o comprimento dos dados $N \to \infty$. A derivação assume:

1. O sistema é livre de ruído.
2. O loop de feedback inicial é internamente estável.
3. O espectro do sinal de referência é conhecido (seja um sinal degrau gerado por um filtro conhecido $R$ ou ruído branco filtrado por $R$).

Principais Contribuições
A principal contribuição deste trabalho é a derivação explícita do filtro de modelagem ótimo para o ajuste de feedforward baseado em dados quando a correspondência de modelo perfeita é inalcançável devido a restrições estruturais. O filtro proposto é:
$$L = \frac{1}{C_{ff}(\rho_0) + T_d C_{fb}} \frac{W}{R} \frac{1}{z^m}$$
onde $C_{fb}$ é o controlador de feedback, $T_d$ é o modelo de referência e $z^{-m}$ é um atraso puro para garantir que o filtro seja próprio.

As principais propriedades desta contribuição incluem:

• Construtibilidade: O filtro é construído inteiramente a partir de informações disponíveis (dados iniciais, controladores conhecidos, modelo de referência e espectro do sinal) sem exigir o conhecimento do processo desconhecido $P$.
• Otimalidade: O artigo prova que minimizar a função de custo com este $L$ específico produz o mesmo parâmetro ótimo $\rho$ que minimizar o custo de desempenho real $J(\rho)$ no limite de dados infinitos.
• Relação com o ERIT: O artigo estabelece uma ligação teórica entre o método proposto e o Ajuste Iterativo de Resposta Estimada (ERIT). Demonstra que o ERIT é um caso especial do framework proposto e é ótimo quando a função de peso $W$ é escolhida exatamente como o filtro do sinal de referência $R$ (ou seja, quando o mesmo sinal de referência é usado no experimento de ajuste).

Resultados
A eficácia do filtro de modelagem proposto é validada através de dois estudos de caso:

1. Exemplo Numérico:

   • Foi utilizado um sistema linear variante no tempo com uma estrutura feedforward simples (insuficiente para corresponder perfeitamente ao modelo de referência).
   • Caso 1 ($W=1$): O filtro de modelagem ótimo exibiu comportamento passa-alta. Embora o controlador ajustado sem o filtro estivesse mais próximo do controlador "ideal" no espaço de parâmetros, ele apresentou um desempenho inferior em termos de rastreamento de malha fechada. O ajuste habilitado pelo filtro melhorou significamente a resposta de malha fechada para coincidir com o modelo de referência, particularmente na faixa de alta frequência.
   • Caso 2 ($W=R$): Este cenário corresponde à configuração ERIT. Os resultados mostraram que o uso do filtro de modelagem (equivalente ao ERIT) reduziu o erro quadrático de rastreamento em aproximadamente 43% em comparação com o ajuste sem o filtro, eliminando efetivamente as oscilações na saída.

2. Experimento Prático:

   • Experimentos foram conduzidos em uma Unidade de Base de Servo Rotativo Quanser com uma entrada de referência degrau.
   • A projeção de sinal foi empregada para mitigar a influência do ruído.
   • O controlador atualizado usando o filtro de modelagem proposto rastreou a saída desejada significativamente melhor do que o controlador ajustado sem o filtro.
   • A soma dos erros quadráticos para o método proposto foi de 0,26, comparada a 0,76 para o método sem o filtro de modelagem e 0,81 para o controlador inicial.

Significância e Alegações
O artigo alega que o filtro de modelagem proposto fornece uma solução rigorosa para o problema de correspondência de modelo baseado em dados para controladores feedforward onde a estrutura do controlador é limitada. Ao construir o filtro ótimo a partir de dados disponíveis, o método evita as armadilças da identificação direta de controladores, que pode levar a um desempenho subótimo mesmo com dados livres de ruído.

O autor observa modestamente que o presente trabalho foca em propriedades assintóticas (grandes valores de $N$). Eles identificam a investigação das propriedades estatísticas com quantidades limitadas de dados como uma direção necessária para pesquisas futuras. O trabalho reforça a utilidade das estruturas de controle 2-DOF, onde a estabilidade é mais fácil de garantir em comparação com o ajuste de apenas feedback, desde que o controlador feedforward atualizado permaneça estável.