Optimal shaping filter design for data-driven feedforward controller tuning

Technische Samenvatting: Optimale Ontwerp van een Shaping Filter voor Datagestuurde Feedforward Controller Tuning

Probleemstelling
Dit artikel behandelt het datagestuurde modelmatchingsprobleem binnen twee-graden-vrijheidsgraden (2-DOF) controlesystemen. Specifiek richt het zich op het afstemmen (tuning) van een feedforward controller, $C_{ff}(\rho)$, met behulp van input-output data uit een preliminaire experiment om de discrepantie tussen het closed-loop systeem, $T(\rho)$, en een gewenst referentiemodel, $T_d$, te minimaliseren.

Hoewel een veelgebruikte aanpak inhoudt om de "optimale" controller (degene die perfecte modelmatching bereikt) direct uit data te identificeren, betoogt dit artikel dat dit onvoldoende is. In scenario's waar de controllerstructuur vaststaat en deze de ideale inverse model niet perfect kan representeren (i.e., $C^*_{ff} \notin \mathcal{C}$), garandeert het minimaliseren van de fout tussen de geïdentificeerde controller en de optimale controller niet de minimalisatie van de werkelijke controleprestatiefout. Deze kloof bestaat omdat gelijkenis in controllerparameters niet direct impliceert dat er gelijkenis is in de closed-loop prestaties. Om deze kloof te overbruggen, wordt een shaping filter (of prefilter), $L$, geïntroduceerd in de kostenfunctie. Het ontwerpen van een optimale shaping filter die enkel vertrouwt op beschikbare data, in plaats van op de onbekende ware plant $P$, blijft echter een aanzienlijke uitdaging.

Methodologie
Het artikel formuleert het probleem als het vinden van een parameter $\rho$ die de gewogen $H_2$-norm van de modelmatchingfout minimaliseert:
$$J(\rho) = \|W(T(\rho) - T_d)\|^2$$
waarbij $W$ een wegingsfunctie is en $P$ onbekend is.

De auteur stelt een datagestuurde kostenfunctie voor die gebruikmaakt van een shaping filter $L$:
$$J_L(\rho) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( L(T_d u^0_k - C_{ff}(\rho) y^0_k) \right)^2$$
waarbij $u^0_k$ en $y^0_k$ de input-output data zijn van een preliminaire experiment met een initiële feedforward parameter $\rho_0$.

De kernmethodologie bestaat uit het afleiden van de optimale $L$ zodanig dat het minimaliseren van $J_L(\rho)$ asymptotisch equivalent is aan het minimaliseren van de ware prestatie-index $J(\rho)$ wanneer de datalengte $N \to \infty$. De afleiding gaat uit van de volgende aannames:

1. Het systeem is ruisvrij.
2. De initiële feedbacklus is intern stabiel.
3. Het spectrum van het referentiesignaal is bekend (ofwel een stapsignaal gegenereerd door een bekende filter $R$, ofwel witte ruis gefilterd door $R$).

Belangrijkste Bijdragen
De primaire bijdrage van dit werk is de expliciete afleiding van de optimale shaping filter voor datagestuurde feedforward tuning wanneer perfecte modelmatching onbereikbaar is vanwege structurele beperkingen. De voorgestelde filter is:
$$L = \frac{1}{C_{ff}(\rho_0) + T_d C_{fb}} \frac{W}{R} \frac{1}{z^m}$$
waarbij $C_{fb}$ de feedbackcontroller is, $T_d$ het referentiemodel, en $z^{-m}$ een zuivere vertraging is om de filter proper te maken.

De belangrijkste eigenschappen van deze bijdrage zijn:

• Construeerbaarheid: De filter wordt volledig geconstrueerd uit beschikbare informatie (initiële data, bekende controllers, referentiemodel en signaal-spectrum) zonder kennis te vereisen van de onbekende plant $P$.
• Optimaliteit: Het artikel bewijst dat het minimaliseren van de kostenfunctie met deze specifieke $L$ dezelfde optimale parameter $\rho$ oplevert als het minimaliseren van de ware prestatiekosten $J(\rho)$ in het limiet van oneindige data.
• Relatie met ERIT: Het artikel legt een theoretische link tussen de voorgestelde methode en Estimated Response Iterative Tuning (ERIT). Het demonstreert dat ERIT een speciaal geval is van het voorgestelde framework en optimaal is wanneer de wegingsfunctie $W$ exact gelijk is aan het referentiesignaal-filter $R$ (namelijk, wanneer hetzelfde referentiesignaal wordt gebruikt in het tuning-experiment).

Resultaten
De effectiviteit van de voorgestelde shaping filter wordt gevalideerd door twee casestudy's:

1. Numeriek Voorbeeld:

   • Een lineair tijd-invariant systeem met een eenvoudige feedforwardstructuur (onvoldoende om het referentiemodel perfect te matchen) werd gebruikt.
   • Geval 1 ($W=1$): De optimale shaping filter vertoonde hoogdoorlaatgedrag. Hoewel de controller die getuned werd zonder de filter dichter bij de "ideale" controller in de parameterruimte lag, presteerde deze slechter in termen van closed-loop tracking. De met filter ingeschakelde tuning verbeterde de closed-loop respons aanzienlijk om het referentiemodel te matchen, met name in het hoogfrequente bereik.
   • Geval 2 ($W=R$): Dit scenario komt overeen met de ERIT-opstelling. De resultaten toonden aan dat het gebruik van de shaping filter (equivalent aan ERIT) de kwadratische trackingfout met ongeveer 43% verminderde vergeleken met tuning zonder de filter, wat effectief de oscillaties in de output elimineerde.

2. Praktisch Experiment:

   • Experimenten werden uitgevoerd met een Quanser Rotary Servo Base Unit met een stap-referentie-input.
   • Signaalprojectie werd toegepast om de invloed van ruis te beperken.
   • De bijgewerkte controller met de voorgestelde shaping filter volgde de gewenste output aanzienlijk beter dan de controller die zonder de filter werd getuned.
   • De som van de gekwadrateerde fouten voor de voorgestelde methode was 0,26, vergeleken met 0,76 voor de methode zonder de shaping filter en 0,81 voor de initiële controller.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat de voorgestelde shaping filter een rigoureuze oplossing biedt voor het datagestuurde modelmatchingprobleem voor feedforward controllers waarbij de controllerstructuur beperkt is. Door de optimale filter te construeren vanuit beschikbare data, vermijdt de methode de valkuilen van directe controlleridentificatie, wat kan leiden tot suboptimale prestaties zelfs met ruisvrije data.

De auteur merkt bescheiden op dat het huidige werk zich richt op asymptotische eigenschappen (grote $N$). Zij identificeren het onderzoek naar statistische eigenschappen bij beperkte hoeveelheden data als een noodzakelijke richting voor toekomstig onderzoek. Het werk benadrukt het nut van 2-DOF controlesystemen, waarbij stabiliteit gemakkelijker te garanderen is dan bij feedback-only tuning, mits de bijgewerkte feedforward controller stabiel blijft.