Optimal shaping filter design for data-driven feedforward controller tuning

Résumé technique : Conception d'un filtre de mise en forme optimal pour le réglage de contrôleurs feedforward basés sur les données

Énoncé du problème
Cet article traite du problème de l'appariement de modèle piloté par les données dans les systèmes de commande à deux degrés de liberté (2-DOF). Plus précisément, il se concentre sur le réglage d'un contrôleur feedforward (anticipateur), $C_{ff}(\rho)$, en utilisant des données d'entrée-sortie issues d'une expérience préliminaire afin de minimiser l'écart entre le système en boucle fermée, $T(\rho)$, et un modèle de référence souhaité, $T_d$.

Bien qu'une approche courante consiste à identifier directement à partir des données le contrôleur « optimal » (celui qui réalise un appariement de modèle parfait), cet article soutient que cela est insuffisant. Dans les scénarios où la structure du contrôleur est fixe et ne peut pas représenter parfaitement le modèle inverse idéal (c'est-à-dire $C^*_{ff} \notin \mathcal{C}$), minimiser l'erreur entre le contrôleur identifié et le contrôleur optimal ne garantit pas la minimisation de l'erreur de performance de commande réelle. Cet écart existe car la similitude entre les paramètres du contrôleur n'implique pas immédiatement une similitude de performance en boucle fermée. Pour combler cette lacune, un filtre de mise en forme (ou préfiltre), $L$, est introduit dans la fonction de coût. Cependant, concevoir un filtre de mise en forme optimal qui repose uniquement sur les données disponibles, plutôt que sur la plante $P$ réelle et inconnue, demeure un défi important.

Méthodologie
L'article formule le problème comme la recherche d'un paramètre $\rho$ qui minimise la norme $H_2$ pondérée de l'erreur d'appariement du modèle :
$$J(\rho) = \|W(T(\rho) - T_d)\|^2$$
où $W$ est une fonction de pondération et $P$ est inconnue.

L'auteur propose une fonction de coût pilotée par les données utilisant un filtre de mise en forme $L$ :
$$J_L(\rho) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( L(T_d u^0_k - C_{ff}(\rho) y^0_k) \right)^2$$
où $u^0_k$ et $y^0_k$ sont les données d'entrée-sortie d'une expérience préliminaire avec un paramètre feedforward initial $\rho_0$.

Le cœur de la méthodologie consiste à dériver l'optimal $L$ tel que la minimisation de $J_L(\rho)$ soit asymptotiquement équivalente à la minimisation de la véritable métrique de performance $J(\rho)$ lorsque la longueur des données $N \to \infty$. La dérivation suppose que :

1. Le système est sans bruit.
2. La boucle de rétroaction initiale est stable à l'intérieur.
3. Le spectre du signal de référence est connu (soit un signal de type échelon généré par un filtre $R$ connu, soit un bruit blanc filtré par $R$).

Principales contributions
La principale contribution de ce travail est la dérivation explicite du filtre de mise en forme optimal pour le réglage feedforward piloté par les données lorsque l'appariement parfait du modèle est irréalisable en raison de contraintes structurelles. Le filtre proposé est :
$$L = \frac{1}{C_{ff}(\rho_0) + T_d C_{fb}} \frac{W}{R} \frac{1}{z^m}$$
où $C_{fb}$ est le contrôleur de rétroaction, $T_d$ est le modèle de référence, et $z^{-m}$ est un retard pur pour garantir que le filtre est propre (proper).

Les propriétés clés de cette contribution incluent :

• Constructibilité : Le filtre est construit entièrement à partir des informations disponibles (données initiales, contrôleurs connus, modèle de référence et spectre du signal) sans nécessiter la connaissance de la plante $P$ inconnue.
• Optimalité : L'article prouve que la minimisation de la fonction de coût avec ce $L$ spécifique produit le même paramètre optimal $\rho$ que la minimisation du coût de performance réel $J(\rho)$ dans la limite de données infinies.
• Relation avec l'ERIT : L'article établit un lien théorique entre la méthode proposée et le réglage itératif par estimation de réponse (ERIT - Estimated Response Iterative Tuning). Il démontre que l'ERIT est un cas particulier du cadre proposé et qu'il est optimal lorsque la fonction de pondération $W$ est choisie pour être exactement le filtre du signal de référence $R$ (c'est-à-dire lorsque le même signal de référence est utilisé lors de l'expérience de réglage).

Résultats
L'efficacité du filtre de mise en forme proposé est validée par deux études de cas :

1. Exemple numérique :

   • Un système linéaire invariant dans le temps avec une structure feedforward simple (insuffisante pour correspondre parfaitement au modèle de référence) a été utilisé.
   • Cas 1 ($W=1$) : Le filtre de mise en forme optimal présentait un comportement passe-haut. Bien que le contrôleur réglé sans le filtre soit plus proche du contrôleur « idéal » dans l'espace des paramètres, il performait moins bien en termes de suivi en boucle fermée. Le réglage avec le filtre a considérablement amélioré la réponse en boucle fermée pour correspondre au modèle de référence, particulièrement dans la plage de haute fréquence.
   • Cas 2 ($W=R$) : Ce scénario correspond à la configuration ERIT. Les résultats ont montré que l'utilisation du filtre de mise en forme (équivalent à l'ERIT) a réduit l'erreur de suivi quadratique d'environ 43 % par rapport au réglage sans filtre, éliminant efficacement les oscillations en sortie.

2. Expérience pratique :

   • Des expériences ont été menées sur une unité de base de servomoteur rotatif Quanser avec une entrée de référence en échelon.
   • La projection de signal a été employée pour atténuer l'influence du bruit.
   • Le contrôleur mis à jour à l'aide du filtre de mise en forme proposé suit la sortie désirée de manière nettement plus efficace que le contrôleur réglé sans le filtre.
   • La somme des erreurs quadratiques pour la méthode proposée est de 0,26, contre 0,76 pour la méthode sans filtre et 0,81 pour le contrôleur initial.

Signification et affirmations
L'article affirme que le filtre de mise en forme proposé fournit une solution rigoureuse au problème d'appariement de modèle piloté par les données pour les contrôleurs feedforward dont la structure est limitée. En construisant le filtre optimal à partir des données disponibles, la méthode évite les pièges de l'identification directe du contrôleur, qui peut conduire à des performances sous-optimales même avec des données sans bruit.

L'auteur note modestement que le présent travail se concentre sur les propriétés asymptotiques (grand $N$). Ils identifient l'étude des propriétés statistiques avec des quantités de données limitées comme une direction nécessaire pour les recherches futures. Ce travail renforce l'utilité des structures de commande 2-DOF, où la stabilité est plus facile à garantir que pour le réglage par rétroaction seule, à condition que le contrôleur feedforward mis à jour reste stable.