$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices

Resumen Técnico: Cuádruples $D(N)$ en Matrices Enteras de $2 \times 2$ Triangulares Superiores

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la extensión de las $m$-tuplas $D(n)$ de Diofanto a la matriz no conmutativa $M_2(\mathbb{Z})$ de matrices enteras de $2 \times 2$. En los anillos conmutativos, una $m$-tupla $D(n)$ es un conjunto de elementos distintos no nulos $\{a_1, \dots, a_m\}$ tales que $a_i a_j + n$ es un cuadrado perfecto para todo $i < j$. Un resultado clásico en los anillos conmutativos establece un fuerte vínculo entre la existencia de cuádruples $D(n)$ y la representabilidad de $n$ como una diferencia de dos cuadrados ($n = x^2 - y^2$).

Los autores investigan si esta relación se mantiene en el entorno no conmutativo de los anillos de matrices. Específicamente, se centran en el anillo de matrices enteras triangulares superiores, $UT_2(\mathbb{Z})$, y exploran dos definiciones de $m$-tuplas de matrices $D(N)$:

1. Producto Estándar: Basado en el producto de matrices ordenado $A_i A_j + N = X_{ij}^2$ (distinguiendo entre órdenes ascendente y descendente).
2. Producto de Jordan: Basado en el producto de Jordan simétrico $A \circ B = \frac{1}{2}(AB + BA)$, definido como $A_i \circ A_j + N = X_{ij}^2$.

El enfoque principal son las $m$-tuplas Jordan $D(N)$ dentro de $UT_2(\mathbb{Z})$, donde las raíces cuadradas $X_{ij}$ también deben pertenecer a $UT_2(\mathbb{Z})$. El estudio distingue entre tuplas degeneradas (donde los productos de Jordan por pares son cero) y no degeneradas.

Metodología
Los autores emplean una combinación de caracterización estructural, construcción explícita y técnicas de obstrucción modular:

• Caracterización Estructural: Utilizan una caracterización previa (de la referencia [10]) de las matrices en $UT_2(\mathbb{Z})$ representables como diferencias de dos cuadrados, la cual se basa en condiciones de congruencia módulo 16.
• Fórmulas de Extensión: Adaptan la fórmula de extensión clásica para tríos. Si $\{A, B\}$ es un par Jordan $D(N)$ con $A \circ B + N = R^2$, construyen un trío $\{A, B, A+B \pm 2R\}$. Esto se basa en la bilinealidad del producto de Jordan.
• Construcción de Prototipo (Teorema 5): Para matrices $N$ representables como $N = K^2 - A_0^2$, los autores construyen un cuádruple "prototipo" de la forma $\{A_0 + U_t, A_0 - U_t, 2A_0 + 2K, 5A_0 + 4K\}$, donde $U_t$ es una matriz nilpotente. Demuestran que para infinitos parámetros $t$, este conjunto forma una $m$-tupla Jordan $D(N)$ válida.
• Obstrucciones Modulares: Para matrices $N$ no representables como diferencias de dos cuadrados, los autores analizan las condiciones escalares sobre las entradas diagonales ($a_i a_j + p = \square$ y $d_i d_j + q = \square$) y las condiciones de integridad en las entradas superiores derechas. Utilizan argumentos de paridad y un lema específico sobre vectores en $\mathbb{Z}_2^2$ (Lema 7) para probar la no existencia para clases de congruencia específicas.
• Construcciones Explícitas: Para ciertas clases de congruencia donde no se puede probar la no existencia, los autores proporcionan construcciones explícitas de polinomios o enteros de los cuádruples, utilizando a menudo propiedades de escalamiento (Lema 2) o adaptando familias polinómicas clásicas (Sección 5).

Contribuciones Clave y Resultados

1. Existencia para Matrices de Diferencia de Cuadrados:
   El artículo demuestra que cada matriz $N \in UT_2(\mathbb{Z})$ que puede ser representada como una diferencia de dos cuadrados en $UT_2(\mathbb{Z})$ admite infinitos cuádruples Jordan $D(N)$ (Teorema 5 y Corolario 6). Esto establece la implicación:
   $$N = K^2 - A^2 \implies \text{Existencia de cuádruples Jordan } D(N)$$
   Esta es la primera estructura donde esta implicación se establece combinando una caracterización estructural de las representaciones de diferencia de cuadrados con una construcción explícita.

2. Resultados de No Existencia:
   Los autores identifican varias familias infinitas de matrices $N \in UT_2(\mathbb{Z})$ que no son representables como diferencias de dos cuadrados y para las cuales no existen cuádruples Jordan $D(N)$. Estos resultados de no existencia se derivan de obstrucciones modulares (Proposiciones 8, 9, 12, 13, 15, 17, 18).

   • Caso I: $p \equiv 2 \pmod 4$ o $q \equiv 2 \pmod 4$.
   • Caso II (Parcial): $p, q$ impares, $p \equiv q \pmod 4$, $r$ impar, específicamente cuando $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$.
   • Caso III (Parcial): $(p, q) \equiv (4, 4), (12, 12) \pmod{16}$ con condiciones específicas sobre $r$.
   • Caso IV: $(p, q) \equiv (4, 12), (8, 8), (12, 4) \pmod{16}$ con $r$ impar.

3. Existencia para Matrices de No Diferencia de Cuadrados:
   Crucialmente, el artículo demuestra que la condición de "diferencia de cuadrados" no es necesaria para la existencia de cuádruples Jordan $D(N)$ en $UT_2(\mathbb{Z})$.

   • Proposición 10: Construye un cuádruple Jordan $D(N)$ para $N = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ para cualquier entero $m$. Si $m$ es impar, $N$ no es una diferencia de dos cuadrados en $UT_2(\mathbb{Z})$, y aun así el cuádruple existe.
   • Proposición 14: Prueba que si las entradas diagonales de $N$ son cuadrados enteros ($p=s^2, q=t^2$), entonces existe un cuádruple Jordan $D(N)$ para cada entrada superior derecha $r$, independientemente de si $N$ es una diferencia de dos cuadrados.
   • Proposición 16: Provee una familia de cuádruples para $N_t = \begin{pmatrix} 4 & 2t \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, que son representables como diferencias de cuadrados solo cuando $t$ es par, aunque los cuádruples existen para todo $t \neq 0$.

4. Adaptaciones Polinómicas:
   La Sección 5 demuestra cómo las fórmulas polinómicas clásicas para cuádruples $D(n)$ conmutativos (específicamente de Dujella [6]) pueden adaptarse al entorno de Jordan en $UT_2(\mathbb{Z})$ resolviendo ecuaciones diofánticas lineales para las entradas superiores derechas.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma iniciar el estudio de las $m$-tuplas $D(N)$ de Diofanto en un entorno genuinamente no conmutativo. Su principal significancia radica en revelar que la relación entre las representaciones de diferencia de cuadrados y la existencia de cuádruples $D(N)$ en los anillos de matrices es más sutil que en el entorno clásico conmutativo.

Si bien la implicación "Diferencia de cuadrados $\implies$ Existencia de cuádruples" se cumple para $UT_2(\mathbb{Z})$, el recíproco es falso. El artículo establece que existen familias infinitas de matrices que no son diferencias de dos cuadrados y que, sin embargo, admiten cuádruples Jordan $D(N)$. Por el contrario, existen matrices que no son diferencias de cuadrados y para las cuales no existen tales cuádruples.

Los autores concluyen que, aunque la "regla" que vincula las representaciones de diferencia de cuadrados con la existencia de cuádruples se cumple para una gran clase de matrices en $UT_2(\mathbb{Z})$, no es una equivalencia estricta. El artículo deja ciertas clases de congruencia (específicamente en los Casos II y III donde las entradas diagonales no son cuadrados) como problemas abiertos, señalando que tanto los fenómenos de existencia como de no existencia ocurren dentro de estas clases residuales.