$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices

Résumé Technique : Les $D(N)$-quadruplets dans les matrices entières $2 \times 2$ triangulaires supérieures

Énoncé du Problème
L'article traite de l'extension des $m$-uplets $D(n)$ diophantiens à l'anneau non commutatif $M_2(\mathbb{Z})$ des matrices entières $2 \times 2$. Dans les anneaux commutatifs, un $m$-uplet $D(n)$ est un ensemble d'éléments distincts et non nuls $\{a_1, \dots, a_m\}$ tels que $a_i a_j + n$ est un carré parfait pour tout $i < j$. Un résultat classique dans les anneaux commutatifs établit un lien étroit entre l'existence des $D(n)$-quadruplets et la représentabilité de $n$ comme différence de deux carrés ($n = x^2 - y^2$).

Les auteurs étudient si cette relation se maintient dans le cadre non commutatif des anneaux de matrices. Plus précisément, ils se concentrent sur l'anneau des matrices entières triangulaires supérieures, $UT_2(\mathbb{Z})$, et explorent deux définitions des $D(N)$-uplets matriciels :

1. Produit Standard : Basé sur le produit matriciel ordonné $A_i A_j + N = X_{ij}^2$ (distinguant les ordres ascendants et descendants).
2. Produit de Jordan : Basé sur le produit de Jordan symétrique $A \circ B = \frac{1}{2}(AB + BA)$, défini par $A_i \circ A_j + N = X_{ij}^2$.

L'étude se concentre principalement sur les $D(N)$-uplets de Jordan au sein de $UT_2(\mathbb{Z})$, où les racines carrées $X_{ij}$ doivent également appartenir à $UT_2(\mathbb{Z})$. L'étude distingue les uplets dégénérés (où les produits de Jordan par paires sont nuls) et les uplets non dégénérés.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de caractérisation structurelle, de construction explicite et de techniques d'obstruction modulaire :

• Caractérisation Structurelle : Ils utilisent une caractérisation préalable (issue de la référence [10]) des matrices de $UT_2(\mathbb{Z})$ représentables comme différences de deux carrés, laquelle repose sur des conditions de congruence modulo 16.
• Formules d'Extension : Ils adaptent la formule d'extension classique pour les triplets. Si $\{A, B\}$ est une paire de Jordan $D(N)$ avec $A \circ B + N = R^2$, ils construisent un triplet $\{A, B, A+B \pm 2R\}$. Cela repose sur la bilinéarité du produit de Jordan.
• Construction Prototype (Théorème 5) : Pour les matrices $N$ représentables sous la forme $N = K^2 - A_0^2$, les auteurs construisent un quadruple « prototype » de la forme $\{A_0 + U_t, A_0 - U_t, 2A_0 + 2K, 5A_0 + 4K\}$, où $U_t$ est une matrice nilpotente. Ils prouvent que pour une infinité de paramètres $t$, cet ensemble forme un $D(N)$-quadruplet de Jordan valide.
• Obstructions Modulaires : Pour les matrices $N$ non représentables comme différences de deux carrés, les auteurs analysent les conditions scalaires sur les entrées diagonales ($a_i a_j + p = \square$ et $d_i d_j + q = \square$) ainsi que les conditions d'intégralité sur les entrées en haut à droite. Ils utilisent des arguments de parité et un lemme spécifique concernant les vecteurs dans $\mathbb{Z}_2^2$ (Lemme 7) pour prouver la non-existence pour certaines classes de congruence.
• Constructions Explicites : Pour certaines classes de congruence où la non-existence ne peut être prouvée, les auteurs fournissent des constructions explicites polynomiales ou entières de quadruplets, utilisant souvent des propriétés d'échelle (Lemme 2) ou adaptant des familles polynomiales classiques (Section 5).

Contributions Clés et Résultats

1. Existence pour les matrices Différence de Carrés :
   L'article prouve que toute matrice $N \in UT_2(\mathbb{Z})$ pouvant être représentée comme une différence de deux carrés dans $UT_2(\mathbb{Z})$ admet une infinité de $D(N)$-quadruplets de Jordan (Théorème 5 et Corollaire 6). Cela établit l'implication :
   $$N = K^2 - A^2 \implies \text{Existence de } D(N)\text{-quadruplets de Jordan}$$
   C'est la première structure où cette implication est établie en combinant une caractérisation structurelle des représentations de différence de carrés avec une construction explicite.

2. Résultats de Non-Existence :
   Les auteurs identifient plusieurs familles infinies de matrices $N \in UT_2(\mathbb{Z})$ qui ne sont pas représentables comme différences de deux carrés et pour lesquelles les $D(N)$-quadruplets de Jordan n'existent pas. Ces résultats de non-existence sont dérivés d'obstructions modulaires (Propositions 8, 9, 12, 13, 15, 17, 18).

   • Cas I : $p \equiv 2 \pmod 4$ ou $q \equiv 2 \pmod 4$.
   • Cas II (Partiel) : $p, q$ impairs, $p \equiv q \pmod 4$, $r$ impair, spécifiquement quand $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$.
   • Cas III (Partiel) : $(p, q) \equiv (4, 4), (12, 12) \pmod{16}$ avec des conditions spécifiques sur $r$.
   • Cas IV : $(p, q) \equiv (4, 12), (8, 8), (12, 4) \pmod{16}$ avec $r$ impair.

3. Existence pour les Matrices Non-Différence de Carrés :
   Crucialement, l'article démontre que la condition « différence de carrés » n'est pas nécessaire pour l'existence des $D(N)$-quadruplets de Jordan dans $UT_2(\mathbb{Z})$.

   • Proposition 10 : Construit un $D(N)$-quadruplet de Jordan pour $N = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout entier $m$. Si $m$ est impair, $N$ n'est pas une différence de deux carrés dans $UT_2(\mathbb{Z})$, pourtant le quadruple existe.
   • Proposition 14 : Prouve que si les entrées diagonales de $N$ sont des carrés entiers ($p=s^2, q=t^2$), alors un $D(N)$-quadruplet de Jordan existe pour chaque entrée en haut à droite $r$, indépendamment du fait que $N$ soit une différence de deux carrés ou non.
   • Proposition 16 : Fournit une famille de quadruplets pour $N_t = \begin{pmatrix} 4 & 2t \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, qui ne sont représentables comme différences de carrés que lorsque $t$ est pair, pourtant des quadruplets existent pour tout $t \neq 0$.

4. Adaptations Polynomiales :
   La Section 5 démontre comment les formules polynomiales classiques pour les $D(n)$-quadruplets commutatifs (spécifiquement celles de Dujella [6]) peuvent être adaptées au cadre de Jordan dans $UT_2(\mathbb{Z})$ en résolvant des équations diophantiennes linéaires pour les entrées en haut à droite.

Signification et Revendications
L'article affirme initier l'étude des $D(N)$-uplets diophantiens dans un cadre véritablement non commutatif. Sa principale signification réside dans le fait de révéler que la relation entre les représentations de différence de carrés et l'existence des $D(N)$-quadruplets dans les anneaux de matrices est plus subtile que dans le cadre commutatif classique.

Bien que l'implication « Différence de carrés $\implies$ Existence de quadruplets » soit vérifiée pour $UT_2(\mathbb{Z})$, la réciproque est fausse. L'article établit qu'il existe des familles infinies de matrices qui ne sont pas des différences de deux carrés mais qui admettent néanmoins des $D(N)$-quadruplets de Jordan. Inversement, il existe des matrices qui ne sont pas des différences de carrés et pour lesquelles aucun tel quadruple n'existe.

Les auteurs concluent que, bien que la « règle » liant les représentations de différence de carrés à l'existence de quadruplets s'applique à une large classe de matrices dans $UT_2(\mathbb{Z})$, elle n'est pas une équivalence stricte. L'article laisse certaines classes de congruence (spécifiquement dans les Cas II et III où les entrées diagonales ne sont pas des carrés) comme des problèmes ouverts, notant que les phénomènes d'existence et de non-existence se produisent tous deux au sein de ces classes résiduelles.