$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices

Resumo Técnico: $D(N)$-quadruplas em Matrizes Inteiras Triangulares Superiores de $2 \times 2$

Enunciado do Problema
O artigo aborda a extensão das $m$-tuplas $D(n)$ diofantinas para o anel não comutativo $M_2(\mathbb{Z})$ de matrizes inteiras $2 \times 2$. Em anéis comutativos, uma $m$-tupla $D(n)$ é um conjunto de elementos distintos não nulos $\{a_1, \dots, a_m\}$ tal que $a_i a_j + n$ é um quadrado perfeito para todo $i < j$. Um resultado clássico em anéis comutativos estabelece uma forte ligação entre a existência de $D(n)$-quadruplas e a representabilidade de $n$ como uma diferença de dois quadrados ($n = x^2 - y^2$).

Os autores investigam se essa relação se mantém no cenário não comutativo dos anéis de matrizes, focando especificamente no anel de matrizes inteiras triangulares superiores, $UT_2(\mathbb{Z})$, e exploram duas definições de $D(N)$-tuplas de matrizes:

1. Produto Padrão: Baseado no produto de matrizes ordenado $A_i A_j + N = X_{ij}^2$ (distinguindo ordens ascendentes e descendentes).
2. Produto de Jordan: Baseado no produto de Jordan simétrico $A \circ B = \frac{1}{2}(AB + BA)$, definido como $A_i \circ A_j + N = X_{ij}^2$.

O foco principal são as Jordan $D(N)$-tuplas dentro de $UT_2(\mathbb{Z})$, onde as raízes quadradas $X_{ij}$ também devem pertencer a $UT_2(\mathbb{Z})$. O estudo distingue entre tuplas degeneradas (onde os produtos de Jordan pareados são zero) e não degeneradas.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de caracterização estrutural, construção explícita e técnicas de obstrução modular:

• Caracterização Estrutural: Eles utilizam uma caracterização prévia (da referência [10]) de matrizes em $UT_2(\mathbb{Z})$ representáveis como diferenças de dois quadrados, a qual se baseia em condições de congruência módulo 16.
• Fórmulas de Extensão: Eles adaptam a fórmula clássica de extensão para triplas. Se $\{A, B\}$ é um par Jordan $D(N)$ com $A \circ B + N = R^2$, eles constroem uma tripla $\{A, B, A+B \pm 2R\}$. Isso se baseia na bilinearidade do produto de Jordan.
• Construção de Protótipo (Teorema 5): Para matrizes $N$ representáveis como $N = K^2 - A_0^2$, os autores constroem um "protótipo" de quadrupla da forma $\{A_0 + U_t, A_0 - U_t, 2A_0 + 2K, 5A_0 + 4K\}$, onde $U_t$ é uma matriz nilpotente. Eles provam que para infinitos parâmetros $t$, este conjunto forma uma válida Jordan $D(N)$-quadrupla.
• Obstruções Modulares: Para matrizes $N$ não representáveis como diferenças de dois quadrados, os autores analisam as condições escalares sobre as entradas da diagonal ($a_i a_j + p = \square$ e $d_i d_j + q = \square$) e as condições de integridade sobre as entradas superiores à direita. Eles utilizam argumentos de paridade e um lema específico sobre vetores em $\mathbb{Z}_2^2$ (Lema 7) para provar a não existência para classes de congruência específicas.
• Construções Explícitas: Para certas classes de congruência onde a não existência não pode ser provada, os autores fornecem construções polinomiais ou inteiras explícitas de quadruplas, frequentemente utilizando propriedades de escala (Lema 2) ou adaptando famílias polinomiais clássicas (Seção 5).

Principais Contribuições e Resultados

1. Existência para Matrizes de Diferença de Quadrados:
   O artigo prova que toda matriz $N \in UT_2(\mathbb{Z})$ que pode ser representada como uma diferença de dois quadrados em $UT_2(\mathbb{Z})$ admite infinitas Jordan $D(N)$-quadruplas (Teorema 5 e Corolário 6). Isso estabelece a implicação:
   $$N = K^2 - A^2 \implies \text{Existência de Jordan } D(N)\text{-quadruplas}$$
   Esta é a primeira estrutura onde essa implicação é estabelecida combinando uma caracterização estrutural de representações de diferença de quadrados com uma construção explícita.

2. Resultados de Não Existência:
   Os autores identificam várias famílias infinitas de matrizes $N \in UT_2(\mathbb{Z})$ que não são representáveis como diferenças de dois quadrados e para as quais Jordan $D(N)$-quadruplas não existem. Esses resultados de não existência são derivados via obstruções modulares (Proposições 8, 9, 12, 13, 15, 17, 18).

   • Caso I: $p \equiv 2 \pmod 4$ ou $q \equiv 2 \pmod 4$.
   • Caso II (Parcial): $p, q$ ímpares, $p \equiv q \pmod 4$, $r$ ímpar, especificamente quando $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$.
   • Caso III (Parcial): $(p, q) \equiv (4, 4), (12, 12) \pmod{16}$ com condições específicas em $r$.
   • Caso IV: $(p, q) \equiv (4, 12), (8, 8), (12, 4) \pmod{16}$ com $r$ ímpar.

3. Existência para Matrizes que Não São Diferença de Quadrados:
   Crucialmente, o artigo demonstra que a condição "diferença de quadrados" não é necessária para a existência de Jordan $D(N)$-quadruplas em $UT_2(\mathbb{Z})$.

   • Proposição 10: Constrói uma Jordan $D(N)$-quadrupla para $N = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ para qualquer inteiro $m$. Se $m$ é ímpar, $N$ não é uma diferença de dois quadrados em $UT_2(\mathbb{Z})$, mas a quadrupla existe.
   • Proposição 14: Prova que se as entradas da diagonal de $N$ são quadrados inteiros ($p=s^2, q=t^2$), então uma Jordan $D(N)$-quadrupla existe para cada entrada superior à direita $r$, independentemente de $N$ ser uma diferença de dois quadrados.
   • Proposição 16: Fornece uma família de quadruplas para $N_t = \begin{pmatrix} 4 & 2t \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, que são representáveis como diferenças de quadrados apenas quando $t$ é par, contudo, quadruplas existem para todo $t \neq 0$.

4. Adaptações Polinomiais:
   A Seção 5 demonstra como fórmulas polinomiais clássicas para $D(n)$-quadruplas comutativas (especificamente de Dujella [6]) podem ser adaptadas para o cenário de Jordan em $UT_2(\mathbb{Z})$ ao resolver equações diofantinas lineares para as entradas superiores à direita.

Significância e Alegações
O artigo afirma iniciar o estudo de tuplas $D(N)$ diofantinas em um cenário genuinamente não comutativo. Sua principal significância reside em revelar que a relação entre representações de diferença de quadrados e a existência de $D(N)$-quadruplas em anéis de matrizes é mais sutil do que no cenário clássico comutativo.

Embora a implicação "Diferença de quadrados $\implies$ Existência de quadruplas" seja válida para $UT_2(\mathbb{Z})$, o inverso é falso. O artigo estabelece que existem famílias infinitas de matrizes que não são diferenças de dois quadrados, mas que ainda assim admitem Jordan $D(N)$-quadruplas. Inversamente, existem matrizes que não são diferenças de quadrados e para as quais não existem tais quadruplas.

Os autores concluem que, embora a "regra" que liga representações de diferença de quadrados à existência de quadruplas se aplique a uma grande classe de matrizes em $UT_2(\mathbb{Z})$, ela não é uma equivalência estrita. O artigo deixa certas classes de congruência (especificamente no Caso II e III onde as entradas da diagonal não são quadrados) como problemas abertos, observando que tanto fenômenos de existência quanto de não existência ocorrem dentro dessas classes residuais.