A Physically Constrained Energy-Based Excess Pore Pressure Model for Saturated Sands with an Ordinary Differential Equation Interpretation

Resumen Técnico: Un Modelo de Exceso de Presión de Poros Basado en la Energía y con Restricciones Físicas para Arenas Saturadas

Planteamiento del Problema
La licuación de suelos sigue siendo un peligro geotécnico crítico, evaluado tradicionalmente mediante métodos basados en el esfuerzo, la deformación, la presión de poros y la energía. Entre ellos, los Métodos Basados en la Energía (EBM, por sus siglas en inglés) ofrecen una ventaja distintiva al relacionar la generación de exceso de presión de poros con la energía disipada acumulada, permitiendo así acomodar cargas sísmicas irregulares sin la incertidumbre de las conversiones a ciclos equivalentes. La formulación EBM más influyente es la ley de potencia de Berrill–Davis (1985) ($r_u = \alpha W^\beta$). Sin embargo, este estudio identifica dos limitaciones fundamentales en el modelo de Berrill–Davis:

1. Respuesta No Acotada: La ley de potencia es matemáticamente ilimitada, lo que permite que la relación de exceso de presión de poros ($r_u$) supere la unidad, lo cual es físicamente imposible para arenas saturadas donde $r_u$ debería aproximarse asintóticamente a 1.0 en la licuación.
2. Interdependencia de Parámetros: Los parámetros de calibración $\alpha$ y $\beta$ suelen tratarse como independientes, aunque estudios empíricos muestran que están correlacionados mutuamente. Esta dependencia complica la calibración, reduce la interpretabilidad física y dificulta la extrapolación.

Metodología
Los autores proponen un modelo reformulado para arenas limpias, saturadas y uniformes que aborda estas limitaciones a través de un proceso de derivación de múltiples pasos:

1. Análisis y Descomposición de Datos: Utilizando datos de triaxial cíclica de arena Ottawa F65 (LEAP-2017) y arena Akpınar, se analiza la relación entre la relación de presión de poros normalizada ($r_u$) y la energía disipada normalizada ($W_N$) en una escala log–log. Los autores observan que los datos no siguen una sola línea recta, sino que constan de al menos tres segmentos lineales.
2. Aproximación Polinómica: Los datos se aproximan mediante un polinomio de sexto orden sin término constante. Esta función se descompone en un término de crecimiento primario ($W_N^b$) y una función de mediación $g(W_N)$.
3. Expansión de Taylor y Simplificación: La función de mediación se analiza más a fondo. Una expansión de Taylor del componente exponencial revela que un polinomio de tercer orden representa adecuadamente las tendencias de los datos. Esto conduce a una forma de modelo candidata: $r_u = W_N^b (a_0 + a_1 W_N + a_2 W_N^2 + a_3 W_N^3)$.
4. Interpretación de la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): Al reconocer la estructura matemática, el modelo se reinterpreta como la solución de una ecuación diferencial ordinaria de Cauchy–Euler no homogénea. El lado izquierdo representa la respuesta interna del sistema, mientras que el lado derecho representa las condiciones de carga externa.
5. Restricciones Físicas: Para eliminar fluctuaciones no físicas e interdependencia de parámetros, el modelo se somete a condiciones de contorno específicas en el punto de licuación ($W_N = 1, r_u = 1$):
   • $r_u = 1$ en $W_N = 1$.
   • Una tangente horizontal ($r_u' = 0$) en $W_N = 1$, asegurando que la curva se aplane al alcanzar el límite.
   • Incremento monotónico ($r_u' > 0$) durante todo el proceso de carga.
   • Una relación específica entre coeficientes ($a_2 = -3a_3$) derivada del desvanecimiento del término no homogéneo en la licuación.

Estas restricciones determinan analíticamente los coeficientes del polinomio de mediación en términos del único parámetro $b$, reduciendo el modelo a una forma gobernada únicamente por $b$.

Contribuciones Clave

• Formulación con Restricciones Físicas: El modelo propuesto está construido para satisfacer inherentemente $0 \le r_u \le 1$, evitando la sobrepredicción no física de la presión de poros común en el modelo de Berrill–Davis.
• Parámetro de Calibración Único: Al vincular analíticamente los coeficientes de mediación con el exponente de crecimiento $b$, el modelo elimina la necesidad de calibrar independientemente múltiples parámetros, resolviendo el problema de interdependencia encontrado en formulaciones previas.
• Marco de EDO: El estudio proporciona una interpretación novedosa de la relación empírica de la presión de poros como la solución de una EDO de Cauchy–Euler no homogénea. Este marco separa la respuesta en una parte homogénea (que gobierna las características materiales internas, dominante en las etapas iniciales) y una parte particular (que gobierna las condiciones de carga externas).
• Validación: El modelo se valida contra datos de triaxial cíclica de alta calidad para arenas Ottawa F65 y Akpınar a través de un rango de densidades relativas (desde sueltas hasta muy densas), logrando un $R^2 \ge 0.99$.

Resultados

• El modelo simplificado (Ec. 20) reproduce con éxito las historias de presión de poros medidas para las arenas Ottawa F65 y Akpınar.
• Se encontró que el parámetro $b$ varía con la densidad relativa (por ejemplo, $b \approx 0.36$ para 51% de densidad relativa, $b \approx 0.43$ para 80–91% de densidad relativa).
• El modelo captura la evolución no lineal de la presión de poros, incluyendo el aumento inicial rápido y el posterior estancamiento a medida que se aproxima la licuación.
• La comparación con el modelo original de Berrill–Davis demuestra que la formulación propuesta ofrece una descripción más consistente de la evolución de la presión de poros, particularmente cerca de la condición terminal de licuación completa, donde el modelo original exhibe una dispersión significativa y un crecimiento no acotado.
• La aplicación del modelo simplificado al resto del conjunto de datos LEAP-2017 confirma su capacidad para simular la generación de presión de poros a través de diversas densidades relativas y relaciones de esfuerzo cíclico, siempre que $b \ge 0.27$ para evitar máximos locales.

Significancia
El artículo afirma que este trabajo ofrece una alternativa viable, compacta y físicamente consistente al clásico modelo de potencia de Berrill–Davis para estudios de licuación que involucran arenas limpias y uniformes. Al acotar la respuesta y eliminar la interdependencia de parámetros mediante una derivación basada en EDO, el modelo simplifica la calibración manteniendo una alta precisión. Los autores enfatizan que, si bien la formulación es empírica, su derivación a partir de una regresión bajo rigurosas restricciones físicas le permite capturar el mecanismo subyacente de la licuación: una fase inicial gobernada por las características granulares internas (solución homogénea) seguida de una fase donde el material pierde su memoria mecánica y requiere una energía sustancial para alcanzar la licuación total (solución particular). El alcance está explícitamente restringido a arenas limpias, uniformes y saturadas.