A Physically Constrained Energy-Based Excess Pore Pressure Model for Saturated Sands with an Ordinary Differential Equation Interpretation

Resumo Técnico: Um Modelo de Excesso de Poropressão Baseado em Energia com Restrições Físicas para Areias Saturadas

Definição do Problema
A liquefação de solos continua sendo um risco geotécnico crítico, tradicionalmente avaliada por meio de métodos baseados em tensão, deformação, poropressão e energia. Entre estes, os Métodos Baseados em Energia (EBM) oferecem uma vantagem distinta ao relacionar a geração de excesso de poropressão à energia dissipada cumulativa, acomodando carregamentos sísmicos irregulares sem a incerteza das conversões de ciclos equivalentes. A formulação EBM mais influente é a lei de potência de Berrill–Davis (1985) ($r_u = \alpha W^\beta$). No entanto, este estudo identifica duas limitações fundamentais no modelo de Berrill–Davis:

1. Resposta Não Limitada: A lei de potência é matematicamente ilimitada, permitindo que a razão de excesso de poropressão ($r_u$) exceda a unidade, o que é fisicamente impossível para areias saturadas, onde o $r_u$ deve assintoticamente aproximar-se de 1,0 na liquefação.
2. Interdependência de Parâmetros: Os parâmetros de calibração $\alpha$ e $\beta$ são frequentemente tratados como independentes, embora estudos empíricos mostrem que eles são mutuamente correlacionados. Essa dependência complica a calibração, reduz a interpretabilidade física e dificulta a extrapolação.

Metodologia
Os autores propõem um modelo reformulado para areias saturadas, limpas e uniformes que aborda essas limitações através de um processo de derivação de múltiplas etapas:

1. Análise de Dados e Decomposição: Utilizando dados de ensaios triaxiais cíclicos de areia Ottawa F65 (LEAP-2017) e areia Akpınar, a relação entre a razão de poropressão normalizada ($r_u$) e a energia dissipada normalizada ($W_N$) é analisada em uma escala log–log. Os autores observam que os dados não seguem uma única linha reta, mas consistem em pelo menos três segmentos lineares.
2. Aproximação Polinomial: Os dados são aproximados por um polinômio de sexta ordem sem termo constante. Esta função é decomposta em um termo de crescimento primário ($W_N^b$) e uma função de mediação $g(W_N)$.
3. Expansão de Taylor e Simplificação: A função de mediação é analisada mais detalhadamente. Uma expansão de Taylor do componente exponencial revela que um polinômio de terceira ordem representa adequadamente as tendências dos dados. Isso leva a uma forma de modelo candidata: $r_u = W_N^b (a_0 + a_1 W_N + a_2 W_N^2 + a_3 W_N^3)$.
4. Interpretação por Equação Diferencial Ordinária (EDO): Reconhecendo a estrutura matemática, o modelo é reinterpretado como a solução de uma equação diferencial ordinária de Cauchy–Euler não homogênea, onde o lado esquerdo representa a resposta interna do sistema e o lado direito representa as condições de carregamento externo.
5. Restrições Físicas: Para eliminar flutuações não físicas e a interdependência de parâmetros, o modelo é submetido a condições de contorno específicas no ponto de liquefação ($W_N = 1, r_u = 1$):
   • $r_u = 1$ em $W_N = 1$.
   • Uma tangente horizontal ($r_u' = 0$) em $W_N = 1$, garantindo que a curva se achate ao atingir o limite.
   • Crescimento monotônico ($r_u' > 0$) durante todo o processo de carregamento.
   • Uma relação específica entre coeficientes ($a_2 = -3a_3$) derivada do desaparecimento do termo não homogêneo na liquefação.

Essas restrições determinam analiticamente os coeficientes do polinômio de mediação em termos do parâmetro único $b$, reduzindo o modelo a uma forma governada exclusivamente por $b$.

Principais Contribuições

• Formulação com Restrições Físicas: O modelo proposto é construído para satisfazer inerentemente $0 \le r_u \le 1$, evitando a superestimativa não física da poropressão comum no modelo de Berrill–Davis.
• Parâmetro de Calibração Único: Ao vincular analiticamente os coeficientes de mediação ao expoente de crescimento $b$, o modelo elimina a necessidade de calibração independente de múltiplos parâmetros, resolvendo o problema da interdependência encontrado em formulações anteriores.
• Estrutura de EDO: O estudo fornece uma interpretação inovadora da relação empírica de poropressão como a solução de uma EDO de Cauchy–Euler não homogênea. Este arcabouço separa a resposta em uma parte homogênea (que governa as características internas do material, dominante nos estágios iniciais) e uma parte particular (que governa as condições de carregamento externo).
• Validação: O modelo é validado contra dados de ensaios triaxiais cíclicos de alta qualidade para areias Ottawa F65 e Akpınar, abrangendo uma gama de densidades relativas (de frouxa a muito densa), alcançando $R^2 \ge 0,99$.

Resultos

• O modelo simplificado (Eq. 20) reproduz com sucesso os históricos de poropressão medidos para as areias Ottawa F65 e Akpınar.
• Observou-se que o parâmetro $b$ varia com a densidade relativa (ex: $b \approx 0,36$ para 51% de densidade relativa, $b \approx 0,43$ para 80–91% de densidade relativa).
• O modelo captura a evolução não linear da poropressão, incluindo a subida inicial rápida e o subsequente platô conforme a liquefação é aproximada.
• A comparação com o modelo original de Berrill–Davis demonstra que a formulação proposta oferece uma descrição mais consistente da evolução da poropressão, particularmente próximo à condição terminal de liquefação completa, onde o modelo original exibe dispersão significativa e crescimento ilimitado.
• A aplicação do modelo simplificado ao restante do conjunto de dados LEAP-2017 confirma sua capacidade de simular a geração de poropressão em várias densidades relativas e razões de tensão cíclica, desde que $b \ge 0,27$ para evitar máximos locais.

Significância
O artigo afirma que este trabalho oferece uma alternativa viável, compacta e fisicamente consistente à clássica lei de potência de Berrill–Davis para estudos de liquefação envolvendo areias limpas e uniformes. Ao limitar a resposta e remover a interdependência de parâmetros através de uma derivação baseada em EDO, o modelo simplifica a calibração mantendo alta precisão. Os autores enfatizam que, embora a formulação seja empírica, sua derivação a partir de regressão sob rigorosas restrições físicas permite capturar o mecanismo subjacente da liquefação: uma fase inicial governada por características granulares internas (solução homogênea) seguida por uma fase onde o material perde sua memória mecânica e requer energia substancial para atingir a liquefação total (solução particular). O escopo é explicitamente restrito a areias saturadas, limpas e uniformes.