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A Physically Constrained Energy-Based Excess Pore Pressure Model for Saturated Sands with an Ordinary Differential Equation Interpretation

Cette étude reformule le modèle de la pression interstitielle excédentaire basé sur l'énergie pour les sables propres saturés en l'interprétant comme une solution d'une équation différentielle ordinaire de Cauchy-Euler, assurant ainsi la bornitude physique, réduisant le calibrage à un seul paramètre et atteignant une grande précision à travers diverses densités relatives.

Auteurs originaux : Ferruh Gündoğan, Ayfer Erken

Publié 2026-06-30

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Ferruh Gündoğan, Ayfer Erken

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

La vue d'ensemble : Pourquoi les châteaux de sable s'effondrent-ils ?

Imaginez que vous êtes à la plage en train de construire un château de sable. Si vous vous tenez simplement dessus, il garde sa forme. Mais si vous commencez à sauter dessus de manière rythmique, les grains de sable commencent à s'agiter. Dans un château de sable saturé (imbibé d'eau), ces secousses forcent l'eau piégée entre les grains à pousser de plus en plus fort contre le sable.

Finalement, la pression de l'eau devient si forte qu'elle écarte complètement les grains de sable. Le sable cesse de se comporter comme un solide et commence à agir comme un liquide épais (comme un milkshake). C'est ce qu'on appelle la liquéfaction, et c'est ce qui provoque l'enfoncement ou l'inclinaison des bâtiments lors des tremblements de terre.

Les ingénieurs ont besoin d'un moyen de prédire exactement quand cela se produit. Ils utilisent un concept appelé énergie dissipée — voyez cela comme la quantité totale de « l'agitation » ou du travail que le sable doit accomplir pour se réorganiser. Plus vous le secouez, plus il absorbe d'énergie, et plus la pression de l'eau augmente.

Le vieux problème : Une règle cassée

Pendant des décennies, les ingénieurs ont utilisé une formule célèbre (créée par Berrill et Davis en 1985) pour prédire cette pression de l'eau. C'est comme une règle simple qui dit : « Plus vous injectez d'énergie, plus la pression augmente. »

Cependant, cette vieille règle présente deux défauts majeurs :

Elle n'a pas de plafond : La formule continue de grimper indéfiniment. Dans le monde réel, la pression de l'eau ne peut pas dépasser le poids du sol au-dessus d'elle (elle ne peut pas dépasser 100 %). L'ancienne formule prédit parfois des chiffres impossibles, comme une pression de 150 %, ce qui contredit la physique.
Elle a des boutons emmêlés : La formule possède deux réglages (paramètres) qui sont censés être indépendants, mais qui sont en réalité liés. Si vous en modifiez un, l'autre change aussi. Cela rend le calibrage du modèle pour différents types de sable très difficile.

La nouvelle solution : Un modèle intelligent et borné

Les auteurs de cet article (Gündoğan et Erken) ont décidé de réparer cette règle. Ils ont examiné les données de tests réels en laboratoire sur deux types de sable : le sable Ottawa F65 (un sable propre standard utilisé dans de nombreuses études) et le sable d'Akpınar (un sable local d'Istanbul).

Au lieu de simplement tracer une ligne droite sur un graphique, ils ont réalisé que la relation entre l'énergie de secousse et la pression de l'eau ressemble davantage à un voyage en trois étapes :

Le départ : Une montée lente et douce.
Le milieu : Une montée rapide et raide.
La fin : Une courbe lisse qui s'aplatit exactement à la limite (100 % de pression).

Pour capturer cela, ils ont traité la mathématique comme une recette. Ils ont décomposé la formule en deux parties :

Le moteur de croissance : Un terme de base qui gère la montée rapide.
Le médiateur : Un « contrôleur de trafic » qui ralentit la croissance à mesure qu'elle approche de la limite, garantissant qu'elle ne dépasse jamais le plafond de 100 %.

Le secret « synthétique » : Un récit mathématique

Voici la partie ingénieuse de leur méthode. Ils ont remarqué que la forme de leur nouvelle courbe ressemblait exactement aux solutions d'un type spécifique d'équation physique appelée équation différentielle ordinaire (EDO).

Considérez une EDO comme un récit sur la façon dont un système change au fil du temps.

Le côté gauche de l'équation représente le comportement interne du sable (sa résistance).
Le côté droit représente les secousses externes (le tremblement de terre).

En réécrivant leur modèle sous la forme de cette équation, ils ont pu appliquer des « règles de la route » strictes (contraintes physiques) :

Règle 1 : La pression doit toujours augmenter (on ne peut pas « dé-secouer » le sable).
Règle 2 : La pression doit s'arrêter de monter exactement lorsqu'elle atteint 100 % (liquéfaction).
Règle 3 : Au moment où elle atteint 100 %, la vitesse de la montée doit être nulle (elle s'aplatit de manière fluide, et non par un pic saccadé).

En forçant les mathématiques à obéir à ces règles, ils ont pu éliminer les « boutons emmêlés ». Ils ont réduit tout ce modèle complexe à un seul chiffre (appelé b) qu'ils doivent trouver. Le reste des mathématiques est fixé par les règles de la physique.

Ce qu'ils ont découvert

Ils ont testé ce nouveau « Modèle à un seul chiffre » par rapport aux données de laboratoire :

Précision : Il correspond incroyablement bien aux résultats réels du laboratoire (99 % de précision).
Sécurité : Il ne prédit jamais de chiffres impossibles (il reste entre 0 % et 100 %).
Simplicité : Il est beaucoup plus facile à utiliser que l'ancien modèle car on n'a besoin de régler qu'un seul paramètre.

Le moment « Eurêka ! » : Deux étapes de défaillance

Les mathématiques ont révélé quelque chose d'intéressant sur la façon dont le sable échoue.

Étape précoce : La structure interne du sable (la façon dont les grains sont serrés) contrôle la montée de la pression. C'est la partie « Homogène » de l'équation.
Étape tardive : Une fois que le sable est très proche de la liquéfaction (autour de 75 % de pression), il perd sa « mémoire ». Sa structure interne se désagrège, et la montée de la pression est presque entièrement dictée par l'énergie de la secousse externe. C'est la partie « Particulière » de l'équation.

Résumé

Les auteurs ont pris une formule désordonnée, non bornée et compliquée pour prédire la liquéfaction du sable et l'ont reconstruite. Ils ont utilisé un « récit mathématique » (une équation) pour forcer le modèle à se comporter comme la physique réelle : monter de manière fluide et s'arrêter exactement à la limite. Le résultat est un outil plus simple, plus sûr et plus précis pour les ingénieurs afin de comprendre quand le sable se transformera en liquide lors d'un tremblement de terre.

Résumé technique : Un modèle de pression interstitielle excédentaire à base d'énergie et à contraintes physiques pour les sables saturés

Énoncé du problème
La liquéfaction des sols demeure un aléa géotechnique critique, traditionnellement évaluée par des méthodes basées sur les contraintes, les déformations, la pression interstitielle ou l'énergie. Parmi celles-ci, les méthodes basées sur l'énergie (EBM) offrent un avantage distinct en reliant la génération de la pression interstitielle excédentaire à l'énergie dissipée cumulée, permettant ainsi de prendre en compte des chargements sismiques irréguliers sans l'incertitude liée aux conversions en cycles équivalents. La formulation EBM la plus influente est la loi de puissance de Berrill–Davis (1985) ( $r_u = \alpha W^\beta$ ). Cependant, cette étude identifie deux limitations fondamentales du modèle de Berrill–Davis :

Réponse non bornée : La loi de puissance est mathématiquement non bornée, permettant au rapport de pression interstitielle excédentaire ( $r_u$ ) de dépasser l'unité, ce qui est physiquement impossible pour les sables saturés où le $r_u$ devrait tendre asymptotiquement vers 1,0 lors de la liquéfaction.
Interdépendance des paramètres : Les paramètres de calibration $\alpha$ et $\beta$ sont souvent traités comme indépendants, alors que des études empiriques montrent qu'ils sont mutuellement corrélés. Cette dépendance complique la calibration, réduit l'interprétabilité physique et entrave l'extrapolation.

Méthodologie
Les auteurs proposent un modèle reformulé pour les sables propres, saturés et uniformes, qui traite ces limitations par un processus de dérivation en plusieurs étapes :

Analyse et décomposition des données : En utilisant des données de triaxial cyclique sur du sable Ottawa F65 (LEAP-2017) et du sable d'Akpınar, la relation entre le rapport de pression interstitielle normalisé ( $r_u$ ) et l'énergie dissipée normalisée ( $W_N$ ) est analysée sur une échelle log-log. Les auteurs observent que les données ne suivent pas une seule ligne droite, mais se composent d'au moins trois segments linéaires.
Approximation polynomiale : Les données sont approximées par un polynôme de sixième ordre sans terme constant. Cette fonction est décomposée en un terme de croissance primaire ( $W_N^b$ ) et une fonction de médiation $g(W_N)$ .
Développement de Taylor et simplification : La fonction de médiation est ensuite analysée. Un développement de Taylor de la composante exponentielle révèle qu'un polynôme de troisième ordre représente de manière adéquate les tendances des données. Cela conduit à une forme de modèle candidate : $r_u = W_N^b (a_0 + a_1 W_N + a_2 W_N^2 + a_3 W_N^3)$ .
Interprétation par équation différentielle ordinaire (EDO) : Reconnaissant la structure mathématique, le modèle est réinterprété comme la solution d'une équation différentielle ordinaire de Cauchy–Euler non homogène. Le membre de gauche représente la réponse interne du système, tandis que le membre de droite représente les conditions de chargement externe.
Contraintes physiques : Pour éliminer les fluctuations non physiques et l'interdépendance des paramètres, le modèle est soumis à des conditions limites spécifiques au point de liquéfaction ( $W_N = 1, r_u = 1$ $W_{N} = 1, r_{u} = 1$ ) :
- $r_u = 1$ à $W_N = 1$ .
- Une tangente horizontale ( $r_u' = 0$ ) à $W_N = 1$ , assurant que la courbe s'aplatisse lorsqu'elle atteint la limite.
- Une croissance monotone ( $r_u' > 0$ ) tout au long du processus de chargement.
- Une relation spécifique entre les coefficients ( $a_2 = -3a_3$ ) dérivée de l'annulation du terme non homogène à la liquéfaction.

Ces contraintes déterminent analytiquement les coefficients du polynôme de médiation en fonction du paramètre unique $b$ , réduisant le modèle à une forme régie uniquement par $b$ .

Contributions clés

Formulation à contraintes physiques : Le modèle proposé est construit pour satisfaire intrinsèquement $0 \le r_u \le 1$ , évitant la surprédiction non physique de la pression interstitielle commune au modèle de Berrill–Davis.
Paramètre de calibration unique : En liant analytiquement les coefficients de médiation à l'exposant de croissance $b$ , le modèle élimine la nécessité de calibrer indépendamment plusieurs paramètres, résolvant ainsi le problème d'interdépendance trouvé dans les formulations précédentes.
Cadre EDO : L'étude fournit une interprétation novatrice de la relation empirique de la pression interstitielle comme étant la solution d'une EDO de Cauchy–Euler non homogène. Ce cadre sépare la réponse en une partie homogène (régissant les caractéristiques matérielles internes, dominante dans les premières étapes) et une partie particulière (régissant les conditions de chargement externe).
Validation : Le modèle est validé par rapport à des données de triaxial cyclique de haute qualité pour les sables Ottawa F65 et Akpina, couvrant une large gamme de densités relatives (de faible à très élevée), atteignant un $R^2 \ge 0,99$ .

Résultats

Le modèle simplifié (Éq. 20) reproduit avec succès les historiques de pression interstitielle mesurés pour les sables Ottawa F65 et Akpınar.
Il a été constaté que le paramètre $b$ varie selon la densité relative (par exemple, $b \approx 0,36$ pour une densité relative de 51 %, $b \approx 0,43$ pour 80–91 % de densité relative).
Le modèle capture l'évolution non linéaire de la pression interstitielle, incluant la montée initiale rapide et le plateau subséquent à mesure que la liquéfaction approche.
La comparaison avec le modèle original de Berrill–Davis démontre que la formulation proposée offre une description plus cohérente de l'évolution de la pression interstitielle, particulièrement près de la condition terminale de liquéfaction complète, là où le modèle original présente une dispersion importante et une croissance non bornée.
L'application du modèle simplifié au reste du jeu de données LEAP-2017 confirme sa capacité à simuler la génération de pression interstitielle à travers diverses densités relatives et rapports de contraintes cycliques, à condition que $b \ge 0,27$ pour éviter les maxima locaux.

Signification
L'article affirme que ce travail offre une alternative viable, compacte et physiquement cohérente au modèle de puissance classique de Berrell–Davis pour les études de liquéfaction impliquant des sables propres et uniformes. En bornant la réponse et en supprimant l'interdépendance des paramètres grâce à une dérivation basée sur les EDO, le modèle simplifie la calibration tout en maintenant une haute précision. Les auteurs soulignent que bien que la formulation soit empirique, sa dérivation par régression sous des contraintes physiques rigoureuses lui permet de capturer le mécanisme sous-jacent de la liquéfaction : une phase initiale régie par les caractéristiques granulaires internes (solution homogène) suivie d'une phase où le matériau perd sa mémoire mécanique et nécessite une énergie substantielle pour atteindre la liquéfaction complète (solution particulière). Le champ d'application est explicitement restreint aux sables saturés, propres et uniformes.