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A Physically Constrained Energy-Based Excess Pore Pressure Model for Saturated Sands with an Ordinary Differential Equation Interpretation

本研究通过将其解释为柯西-欧拉常微分方程的解，对饱和净砂的基于能量的超孔隙水压力模型进行了重新构建，从而确保了物理上的有界性，将标定简化为单个参数，并在各种相对密度下实现了高精度。

原作者： Ferruh Gündoğan, Ayfer Erken

发布于 2026-06-30

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原作者： Ferruh Gündoğan, Ayfer Erken

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

大局观：为什么沙堡会坍塌？

想象一下，你正在海滩上堆建一个沙堡。如果你只是站在上面，它能保持形状。但如果你开始有节奏地上下跳动，沙粒就会开始晃动。对于一个饱和的沙堡（被水浸透的沙堡）来说，这种晃动会迫使夹在沙粒之间的水产生越来越大的推力。

最终，水压变得如此强大，以至于它完全将沙粒推开。沙子不再表现得像固体，而是开始表现得像一种粘稠的液体（比如奶昔）。这被称为液化（liquefaction），也是地震期间建筑物下沉或倾斜的原因。

工程师需要一种方法来精确预测这种情况何时发生。他们使用了一个叫做**耗散能量（dissipated energy）**的概念——可以把它理解为沙子为了重新排列自己所必须做的总“抖动”量或功。你摇晃得越厉害，吸收的能量就越多，水压也就越高。

旧有的问题：一把坏掉的尺子

几十年来，工程师们一直使用一个著名的公式（由 Berrill 和 Davis 在 1985 年创建）来预测这种水压。这就像一把简单的尺子，它说：“你投入的能量越多，压力就越高。”

然而，这把旧尺子有两个主要缺陷：

它没有天花板： 这个公式会无限上升。在现实世界中，水压不能超过上方土壤的重量（不能超过 100%）。旧公式有时会预测出不可能的数字，比如 150% 的压力，这违反了物理学原理。
它的旋钮缠绕在一起： 该公式有两个本应相互独立的设置（参数），但它们实际上是捆绑在一起的。如果你改变其中一个，另一个也会随之改变。这使得针对不同类型的沙子进行模型校准变得非常困难。

新的解决方案：一个智能且有界的模型

本文的作者（Gündoğan 和 Erken）决定修复这把尺子。他们观察了来自两种类型沙子的真实实验室测试数据：Ottawa F65（一种在许多研究中使用的标准、洁净的沙子）和 Akpınar 沙（来自伊斯坦布尔的当地沙子）。

他们意识到，与其仅仅在图表上画一条直线，不如将能量与水压之间的关系看作是一场三阶段的旅程：

开始阶段： 缓慢、轻微的上升。
中间阶段： 快速、陡峭的攀升。
结束阶段： 一个在达到极限（100% 压力）时正好变平滑的曲线。

为了捕捉这一点，他们将数学处理成了一个配方。他们将公式分解为两个部分：

增长引擎： 处理快速上升的基础项。
调节器： 一个“交通控制器”，在接近极限时减缓增长速度，确保永远不会突破 100% 的天花板。

“合成”的秘密：一个数学故事

这是他们方法中聪明的地方。他们注意到，他们新曲线的形状看起来完全像是特定类型物理方程——**常微分方程（ODE）**的解。

把 ODE 想象成一个关于系统如何随时间变化的故事。

方程的左侧代表沙子的内部行为（它是如何抵抗的）。
方程的右侧代表外部的晃动（地震）。

通过将他们的模型改写为这个方程，他们可以应用严格的“交通规则”（物理约束）：

规则 1： 压力必须始终上升（你不能“反向晃动”沙子）。
规则 2： 当压力达到 100%（液化）时，压力必须停止上升。
规则 3： 在达到 100% 的那一刻，上升的速度必须为零（它平滑地趋于平缓，而不是出现尖锐的突跳）。

通过强制数学逻辑遵守这些规则，他们消除了那些“缠绕的旋钮”。他们将整个复杂的模型简化为仅需寻找的一个数值（称为 b）。其余的数学部分则由物理规则固定。

他们的发现

他们用这个新的“单数模型”测试了实验室数据：

准确性： 它与真实的实验室结果匹配得非常好（准确率达 99%）。
安全性： 它永远不会预测出不可能的数字（它保持在 0% 到 100% 之间）。
简洁性： 它比旧模型容易得多，因为你只需要调整一个设置。

“顿悟”时刻：失效的两个阶段

数学揭示了关于沙子如何失效的一个有趣现象。

早期阶段： 沙子自身的内部结构（沙粒堆积得有多紧密）控制着压力的上升。这是方程中的“齐次（Homogeneous）”部分。
后期阶段： 一旦沙子非常接近液化（大约 75% 压力时），它就会失去“记忆”。内部结构崩溃，压力的上升几乎完全由外部晃动能量驱动。这是“特解（Particular）”部分。

总结

作者们将一个用于预测沙子液化的混乱、无界且复杂的公式进行了重建。他们利用一个数学“故事”（一个方程）来强制模型表现得符合真实的物理规律：平滑上升并在达到极限时恰好停止。结果是一个更简单、更安全且更准确的工具，帮助工程师理解地震期间沙子何时会变成液体。

技术摘要：一种针对饱和砂土的物理约束型能量驱动超孔隙水压力模型

问题陈述
土壤液化仍是一个关键的地质技术灾害，传统上通过应力法、应变法、孔压法和能量法进行评估。在这些方法中，能量法（EBM）具有显著优势，因为它将超孔隙水压力的产生与累积耗散能量联系起来，从而能够适应不规则的地震载荷，避免了等效循环次数转换带来的不确定性。最具影响力的 EBM 公式是 Berrill–Davis (1985) 幂律方程 ( $r_u = \alpha W^\beta$ )。然而，本研究指出了 Berrill–Davis 模型存在的两个基本局限性：

无界响应： 幂律在数学上是无界的，允许超孔隙水压力比 ( $r_u$ ) 超过 1.0，这对于超孔隙水压力比在液化时应渐近趋于 1.0 的饱和砂土而言，在物理上是不可能的。
参数相互依赖： 校准参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 通常被视为独立的，但实证研究表明它们是相互相关的。这种依赖性增加了校准的复杂性，降低了物理可解释性，并阻碍了模型的外推应用。

研究方法
作者提出了一种针对均匀、洁净、饱和砂土的重新构建模型，通过一个多步推导过程解决了上述局限性：

数据分析与分解： 利用 Ottawa F65 砂土（LEAP-2017）和 Akpınar 砂土的循环三轴试验数据，在对数-对数坐标系下分析了归一化孔压比 ( $r_u$ ) 与归一化耗散能量 ( $W_N$ ) 之间的关系。作者观察到，数据并非遵循单一直线，而是由至少三个线性段组成。
多项式逼近： 使用不含常数项的六阶多项式对数据进行逼近。该函数被分解为一个主要增长项 ( $W_N^b$ ) 和一个中介函数 $g(W_N)$ 。
泰勒展开与简化： 对中介函数进行进一步分析。指数部分的泰勒展开表明，三阶多项式足以代表数据趋势。由此得到了候选模型形式： $r_u = W_N^b (a_0 + a_1 W_N + a_2 W_N^2 + a_3 W_N^3)$ 。
常微分方程 (ODE) 解释： 通过识别其数学结构，将该模型重新解释为非齐次 Cauchy–Euler 常微分方程的解。左侧代表系统的内部响应，右侧代表外部加载条件。
物理约束： 为了消除不物理的波动和参数相互依赖，模型受到液化点（ $W_N = 1, r_u = 1$ $W_{N} = 1, r_{u} = 1$ ）处特定边界条件的约束：
- 当 $W_N = 1$ 时， $r_u = 1$ 。
- 在 $W_N = 1$ 处存在水平切线（ $r_u' = 0$ ），确保曲线在达到极限时趋于平缓。
- 在整个加载过程中保持单调递增（ $r_u' > 0$ ）。
- 基于非齐次项在液化时消失而导出的系数特定关系（ $a_2 = -3a_3$ ）。

这些约束通过解析方式确定了中介多项式的系数，从而将模型简化为仅由单一参数 $b$ 控制的形式。

核心贡献

物理约束公式化： 所提出的模型在构建时固有地满足 $0 \le r_u \le 1$ ，防止了 Berrill–Davis 模型中常见的超孔隙水压力过度预测的不物理现象。
单一校准参数： 通过将中介系数与增长指数 $b$ 进行解析关联，该模型消除了独立校准多个参数的需求，解决了以往公式中存在的相互依赖问题。
ODE 框架： 本研究提供了一种新颖的解释，将经验性的孔压关系视为非齐次 Cauchy–Euler ODE 的解。该框架将响应分为齐次部分（控制材料内部特性，在早期阶段占主导）和特解部分（控制外部加载条件）。
验证： 该模型通过了针对不同相对密度（从松砂到极密砂）的 Ottawa F65 和 Akpınar 砂土的高质量循环三轴数据验证，其 $R^2 \ge 0.99$ 。

结果

简化模型（公式 20）成功重现了 Ottawa F65 和 Akpınar 砂土的实测孔压历程。
研究发现参数 $b$ 随相对密度变化（例如，相对密度为 51% 时 $b \approx 0.36$ ，当相对密度为 80–91% 时 $b \approx 0.43$ ）。
模型捕捉到了孔压的非线性演化，包括初始阶段的快速上升以及接近液化时的随后平台期。
与原始 Berrill–Davis 模型的对比表明，所提出的公式能更一致地描述孔压演化，特别是在接近完全液化的终点状态时，原始模型表现出显著的离散性和无界增长。
将简化模型应用于剩余的 LEAP-2017 数据集，证实了只要 $b \ge 0.27$ 以避免出现局部极大值，该模型就具备模拟各种相对密度和循环应力比下孔压产生的能力。

意义
本文声称，这项工作为涉及均匀、洁净砂土的液化研究提供了一个可行、简洁且物理一致的经典 Berrill–Davis 幂律替代方案。通过设定边界响应并利用基于 ODE 的推导过程消除参数间的相互依赖，该模型在保持高精度的同时简化了校准过程。作者强调，虽然该公式是经验性的，但其通过严格物理约束下的回归推导，使其能够捕捉液化的底层机制：即一个由内部颗粒特性主导的初始阶段（齐次解），随后是一个材料失去机械记忆、需要大量能量才能达到完全液化的阶段（特解）。该研究范围明确限定于均匀、洁净的饱和砂土。