A vector-based analytical method for evaluating borehole–joint hit rate in pre-excavation grouting of jointed rock mass

Resumen Técnico: Un Método Analítico Basado en Vectores para Evaluar la Tasa de Intersección entre Taladros y Juntas en el Inyección Previa a la Excavación

Planteamiento del Problema
La inyección previa a la excavación (PEG, por sus siglas en inglés) en macizos rocosos con juntas depende de la compatibilidad geométrica entre los taladros de inyección y las discontinuidades hidráulicamente significativas. Una inyección eficaz requiere que los taladros intercepten los conjuntos de juntas objetivo en ángulos favorables, idealmente perpendiculares, para maximizar el área de la traza de intersección y facilitar la penetración del lechado. Los métodos de evaluación existentes, como los modelos de Diseño Asistido por Computadora (CAD) en tres dimensiones utilizados por Funehag y Sjöli (22023), requieren la construcción y medición manual de la geometría entre el taladro y la junta. Aunque son precisos para casos individuales, estos enfoques basados en CAD son computacionalmente ineficientes e impracticables para la evaluación repetida de múltiples taladros, conjuntos de juntas variables o configuraciones de abanico alternativas. Existe la necesidad de un marco analítico transparente, reproducible y computacionalmente eficiente para cuantificar la "tasa de intersección" (hit rate)—la relación entre el área de la sección transversal del taladro y el área de intersección elíptica en el plano de la junta—sin depender del modelado 3D manual.

Metodología
El estudio propone un flujo de trabajo analítico basado en vectores y de forma cerrada para calcular las tasas de intersección en un sistema de coordenadas tridimensional común. El método integra tres grupos principales de entrada:

1. Alineación del Túnel: Definida por el azimut del túnel ($AZ_t$) y el hundimiento ($PZ_t$), estableciendo un vector unitario del eje del túnel ($\mathbf{t}$) y un sistema de coordenadas ortogonal de la cara del túnel ($\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2$).
2. Orientación del Conjunto de Juntas: Definida por el rumbo ($\theta$) y el buzamiento ($\delta$), a partir de los cuales se deriva un vector normal unitario ($\mathbf{n}$) para cada plano de junta.
3. Geometría del Abanico de Taladros: Definida para cada taladro $i$ por su ángulo de inclinación ($\beta_i$) relativo al eje del túnel y su ángulo circunferencial ($\psi_i$) dentro del plano de la cara del túnel, lo que genera un vector unitario de dirección del taladro ($\mathbf{l}_i$).

El cálculo central define la tasa de intersección ($h_{ij}$) para un taladro específico $i$ y un conjunto de juntas $j$ como el valor absoluto del producto punto entre el vector de dirección del taladro y el vector normal del plano de la junta:
$$h_{ij} = |\mathbf{l}_i \cdot \mathbf{n}_j|$$
Esta formulación produce un valor adimensional entre 0 y 1, donde 1 representa una intersección perpendicular (máxima tasa de intersección) y 0 representa una intersección paralela (mínima tasa de intersección). El método se extiende a múltiples conjuntos de juntas mediante la generación de una matriz de tasas de intersección. Además, el estudio incorpora la longitud del taladro ($L$) y el espaciamiento representativo de las juntas ($s_j$) para estimar el número esperado de intersecciones ($N_{ij}$) utilizando la relación:
$$N_{ij} = \frac{L \cdot h_{ij}}{s_j}$$

Estudio de Caso y Validación
El flujo de trabajo se aplicó a la sección de la estación Haga del túnel ferroviario West Link en Gotemburgo, Suecia. El caso involucró un abanico de PEG interceptando tres conjuntos de juntas distintos (SG-1, SG-2 y SG-3).

• Validación: Los resultados basados en vectores para SG-1 se compararon con los resultados de modelado geométrico basados en CAD publicados. El método analítico reprodujo con éxito la distribución espacial de las tasas de intersección, identificando los mismos sectores de baja tasa de intersección (por ejemplo, los taladros 2–4 y 16) y los sectores de alta tasa de intersección (por ejemplo, los taladros 26–28). Aunque existieron diferencias moderadas en la magnitud (el método vectorial arrojó valores ligeramente superiores en sectores favorables), la clasificación espacial fue consistente.
• Análisis de Reorientación: Se probó un escenario donde se reorientaron taladros seleccionados en sectores de baja tasa de intersección hacia SG-1, manteniendo las posiciones originales de los collares. Este ajuste aumentó las tasas de intersección hasta en 12 puntos porcentuales para taladros específicos (por ejemplo, de ~2% a ~14% para el taladro 3), demostrando que los ajustes en el ángulo circunferencial pueden mejorar significamente la compatibilidad geométrica.
• Análisis de Múltiples Conjuntos: El método se aplicó a SG-2 y SG-3. Los resultados mostraron que el mismo diseño de abanico produjo distribuciones de tasa de intersección drásticamente diferentes dependiendo de la orientación del conjunto de juntas. SG-2 produjo tasas de intersección uniformemente altas (~89–100%) en todo el abanico, mientras que SG-3 mostró una alta variabilidad, y SG-1 contenía sectores distintos con tasas muy bajas.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Formulación Analítica: El estudio proporciona una formulación basada en vectores que elimina la necesidad de la construcción manual de CAD 3D, permitiendo el cálculo rápido y reproducible para cualquier número de taladros y conjuntos de juntas.
2. Sensibilidad Geométrica: El análisis confirma que la orientación del conjunto de juntas es el principal motor de la distribución de la tasa de intersección. Un diseño de abanico favorable para un conjunto de juntas puede ser geométricamente desfavorable para otro, lo que requiere evaluaciones separadas para cada conjunto hidráulicamente significativo.
3. Estimación de Intersecciones: Al integrar el espaciamiento de las juntas, el método va más allá de la simple compatibilidad angular para estimar la frecuencia esperada de las intersecciones entre el taladro y la junta. Los resultados indican que las juntas estrechamente espaciadas no pueden compensar las orientaciones de los taladros altamente desfavorables; las tasas de intersección bajas resultan en recuentos de intersección bajos, independientemente de la densidad de las juntas.
4. Optimización del Diseño: El escenario de reorientación demuestra que los ajustes dirigidos en la dirección del taladro (principalmente los ángulos circunferenciales) pueden mejorar significativamente el acceso geométrico a conjuntos de juntas específicos sin alterar la disposición general del abanico ni las posiciones de los collares.

Significancia y Limitaciones
El artículo posiciona este flujo de trabajo como una herramienta de cribado geométrico y de soporte al diseño, destinada a complementar, no a reemplazar, la caracterización hidrogeológica, las pruebas hidráulicas y el juicio de ingeniería. Su significancia principal radica en proporcionar un marco transparente para comparar configuraciones de abanico alternativas, identificar sectores con mala cobertura geométrica y evaluar el impacto de la orientación de las juntas en la viabilidad de la inyección.

Los autores reconocen explícitamente las limitaciones: el método idealiza los conjuntos de juntas utilizando orientaciones medias y espaciamiento uniforme, ignorando la variabilidad espacial, la persistencia y la agrupación. Es puramente geométrico y no tiene en cuenta las propiedades hidráulicas (apertura, conectividad), la reología del lechado o las desviaciones de perforación. Por consiguiente, la tasa de intersección se presenta como una métrica relativa para el acceso geométrico en lugar de un predictor directo del éxito de la inyección o del control de la entrada de agua. El estudio concluye que, si bien el método ofrece una base robusta para el diseño preliminar y la evaluación iterativa, se requiere una validación de campo frente a las intersecciones reales de los taladros y los datos de rendimiento de la inyección para su desarrollo futuro.