Causal inference in connected populations with contagion

Résumé Technique : L'inférence causale dans les populations connectées avec contagion

Énoncé du problème
L'inférence causale dans les populations connectées est complexifiée par la dépendance entre les résultats induite par des processus réels tels que le débordement (spillover) et la contagion. Alors que la littérature existante (par exemple, Toulis & Kao, 2013 ; Ugander et al., 2013 ; Ogburn et al., 2020) a développé des méthodes pour estimer les effets causaux sous interférence, il existe une lacune significative dans la compréhension de la manière dont la contagion — le processus par lequel un résultat $Y_i$ influence un autre résultat $Y_j$ — impacte spécifiquement les effets causaux et l'inférence statistique. Contrairement au débordement, où une intervention $X_i$ affecte $Y_j$, la contagion implique la transmission des résultats eux-mêmes. Les auteurs notent qu'on en sait peu sur la façon dont ce mécanisme modifie l'ampleur ou la direction des effets causaux, ni comment il biaise les estimateurs standards.

Méthodologie et cadre théorique
Les auteurs développent un cadre théorique pour dériver des expressions en forme close pour les effets causaux sous contagion. Ils définissent l'effet causal total $\tau_T$ comme la somme de l'effet ego ($\tau_E$), représentant l'impact direct d'une intervention sur l'unité traitée, et de l'effet alter ($\tau_A$), représentant l'impact d'une intervention sur d'autres unités.

L'analyse repose sur deux conditions primaires :

1. Ignorabilité (Condition 1) : Hypothèses standards concernant l'indépendance des interventions et des résultats potentiels étant donné la structure du réseau.
2. Linéarité en moyenne avec contagion (Condition 2) : Un processus générateur de données où l'espérance conditionnelle d'un résultat $Y_i$ dépend de :
   • L'intervention propre de l'unité ($\beta_i x_i$).
   • Les interventions des voisins (débordement, $\gamma_i$).
   • Les résultats des voisins (contagion, $\delta_i$).
   • Des constantes d'échelle $c_{N,i}(\mathbf{z})$.

Contrairement aux modèles classiques de linéarité en moyenne, ce cadre permet des résidus dépendants dus à la contagion et ne restreint pas les constantes d'échelle à $1/N_i$. Les auteurs utilisent l'algèbre matricielle impliquant la matrice d'adjacence $\mathbf{Z}$ et la matrice $\mathbf{M}(\delta, \mathbf{Z}) = (\mathbf{I}_N - \delta \mathbf{C}_N(\mathbf{Z}) \mathbf{Z})^{-1}$ pour dériver ces effets.

Contributions clés et résultats

1. Expressions en forme close :
   Le document fournit les premières expressions en forme close pour $\tau_E$, $\tau_A$, et $\tau_T$ en présence de débordement et de contagion simultanés (Théorèmes 1 et 2). Ces expressions révèlent que les effets des interventions ($\beta$), du débordement ($\gamma$) et de la contagion ($\delta$) sont entrelacés, même dans des contextes simples.

   • Le Théorème 1 établit l'identification de ces effets en utilisant la trace et les propriétés spectrales de $\mathbf{M}(\delta, \mathbf{Z})$.
   • Le Théorème 2 fournit des expressions simplifiées lorsque la structure de réseau attendue $\mathbf{P} = E(\mathbf{Z})$ approxime le réseau réalisé.

2. Impact de la contagion sur les effets causaux :
   À travers des exemples spécifiques, les auteurs démontrent que la contagion peut soit diminuer, soit augmenter les effets causaux, remettant en question l'hypothèse selon laquelle l'interférence est purement additive ou négligeable.

   • Contagion restreinte (Ménages) : Dans un modèle où les connexions sont restreintes à des ménages de taille 2, l'effet ego $\tau_E$ devient une combinaison convexe du l'effet direct $\beta$ et d'un terme impliquant $\beta, \gamma,$ et $\delta$. Plus précisément, $\tau_E = (1-\chi)\beta + \chi \frac{\beta + \gamma\delta}{1-\delta^2}$. Cela montre que la contagion ($\delta$) modifie l'effet direct, l'amplifiant ou le diminuant potentiellement selon le signe et l'ampleur de $\delta$.
   • Contagion non restreinte (Graphes aléatoires) : Dans des graphes d'interférence clairsemés et denses (incluant les modèles à blocs stochastiques), les auteurs montrent que si l'effet ego $\tau_E$ peut rester égal à $\beta$ sous certaines conditions de croissance, l'effet total $\tau_T$ est mis à l'échelle par un facteur dépendant de $\delta$. Crucialement, la contagion ne peut ni annuler ni inverser le signe de l'effet total si l'effet de base ($\beta + \gamma$) est non nul, mais elle peut modifier considérablement son ampleur.
   • Taille des communautés : Dans les modèles à correction de degré, les auteurs constatent que les communautés plus larges contribuent davantage à l'effet causal total que les plus petites.

3. Implications statistiques et biais :
   Le document analyse les conséquences de l'omission de la contagion dans l'estimation :

   • Estimateurs basés sur des modèles : Les estimateurs de moindres carrés ordinaires (MCO) qui ignorent la dépendance des résultats (en fixant $\delta=0$) souffrent d'un biais asymptotique. Les auteurs prouvent que la valeur attendue de ces estimateurs converge vers une fonction complexe de $\beta, \gamma, \delta,$ et de la structure du réseau, plutôt que vers les véritables paramètres causaux.
   • Estimateurs basés sur le design : Bien que les estimateurs basés sur le design (ex: Horvitz-Thompson) évitent l'erreur de spécification de modèle, ils reposent sur des hypothèses d'« exposition au voisinage ». Les auteurs démontrent que la contagion non restreinte viole ces hypothèses car une intervention peut affecter un résultat via une chaîne de contagion même si les unités ne sont pas des voisines directes (Figure 3). Par conséquent, les estimateurs basés sur le design existants (comme l'estimateur de l'équilibre PC) peuvent présenter un biais non nul en présence de contagion non restreinte.

Signification et revendications
Les auteurs affirment que leur travail apporte un éclairage théorique critique sur la manière dont la contagion modifie fondamentalement l'inférence causale. La principale signification réside dans la démonstration que :

• Les interventions, le débordement et la contagion sont inextricablement liés ; on ne peut isoler l'effet d'une intervention sans tenir compte de la manière dont les résultats se propagent.
• Ignorer la contagion conduit à une inférence biaisée, que ce soit par des approches basées sur des modèles (en raison de la dépendance non modélisée) ou des approches basées sur le design (en raison des hypothèses d'exposition violées).
• La contagion n'est pas simplement un paramètre de nuisance ; elle peut activement amplifier ou atténuer les effets des interventions.

Le document conclut que si la contagion pose des défis pour l'inférence causale standard, elle offre également des opportunités. Par exemple, si la contagion existe, les décideurs politiques pourraient potentiellement recruter des influenceurs ou encourager la création de communautés pour amplifier les effets des interventions. Cependant, les auteurs restent modestes quant aux solutions pratiques, notant que les remèdes pour les biais identifiés (tels que la restriction de la contagion ou le développement de nouvelles méthodes de réduction biais-variance) constituent des domaines nécessaires pour les travaux futurs.