Exact expressions for the unresolved stress in a finite-volume based large-eddy simulation

Résumé technique : Expressions exactes du stress non résolu dans une simulation de type Large-Eddy basée sur les volumes finis

Énoncé du problème
La simulation des grandes échelles (LES) vise à modéliser les écoulements turbulents en résolvant les grandes échelles tout en modélisant les effets des sous-échelles non résolues. Traditionnellement, le problème de la fermeture en LES se concentre sur l'erreur de commutateur découlant de la non-commutation des termes de filtrage spatial et d'advection non linéaire, ce qui donne lieu au tenseur de contrainte résiduelle (RST) classique, $\tau_{ij} = \overline{u_i u_j} - \bar{u}_i \bar{u}_j$. Cependant, dans les simulations pratiques, la LES est résolue à l'aide de schémas de discrétisation numérique, le plus souvent la méthode des volumes finis (FVM).

Un problème critique survient car la largeur du filtre $\Delta$ en LES est souvent du même ordre de grandeur que le pas de grille $h$ (c'est-à-dire $\Delta \approx h$). Dans ces régimes, les erreurs de discrétisation — provenant des flux numériques et des opérateurs de divergence discrets — sont du même ordre de grandeur que les contraintes de sous-filtre physiques. Les approches classiques définissent généralement le modèle de fermeture à partir d'équations continues, puis procèdent à la discrétisation, ou traitent les erreurs de discrétisation comme des problèmes de convergence distincts. Cette séparation entraîne un décalage entre les données cibles (le résidu réel) et le modèle, particulièrement lorsque la discrétisation elle-même introduit des effets non locaux ou non symétriques significatifs que les modèles de fermeture locaux et symétriques standards (comme Smagorinsky) ne peuvent capturer.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre mathématique unifié nommé LES-FVM, qui intègre directement le processus de filtrage LES avec la discrétisation FVM. La méthodologie centrale comprend :

1. Formalisme unifié : Au lieu d'appliquer le filtrage LES aux équations continues puis de discrétiser, les auteurs appliquent le filtre FVM (une moyenne volumique sur les volumes de contrôle) aux équations filtrées par LES. Cela crée un système à "double filtrage" où la largeur du filtre $\Delta$ et le pas de grille $h$ sont traités comme des paramètres indépendants.
2. Dérivation de résidus exacts : En utilisant une propriété de "permutation de filtre discrète" (où l'opérateur de différence finie est équivalent à une dérivée exacte filtrée), les auteurs dérivent des expressions exactes pour le flux résiduel dans les équations discrétisées.
3. Décomposition des résidus : Le flux résiduel total $\tau_{\Delta,h}$ est décomposé en trois composantes distinctes :
   • Terme classique : L'erreur de commutateur standard associée au double filtre ($\Delta$ et $h$).
   • Terme de flux : Erreurs provenant de la différence entre le flux exact et le flux numérique ($r$ vs $r_h$).
   • Terme de divergence : Erreurs provenant de la différence entre la divergence exacte et la divergence discrète.
4. Extension aux écoulements incompressibles 3D : Le cadre est étendu aux équations de Navier-Stokes incompressibles en 3D. Cela nécessite de traiter le terme de pression via des opérateurs de projection pour garantir que le champ de vitesse reste sans divergence dans le cadre discret. Les auteurs dérivent un RST projeté qui rend compte de l'interaction entre la projection de pression et la discrétisation.

Contributions clés

• RST informé par la discrétisation exacte : L'article dérive une expression exacte pour le tenseur de contrainte non résolu dans une LES basée sur la FVM. Contrairement au RST classique, cette nouvelle expression inclut explicitement des contributions des flux numériques et des opérateurs de divergence discrets.
• Non-symétrie et non-localité : Pour les écoulements incompressibles, les auteurs démontrent que le RST LES-FVM proposé est intrinsèquement non symétrique et non local (en raison de la projection de pression). Cela contraste fortement avec les RST de LES classiques, qui sont typiquement supposés être symétriques et locaux.
• Erreur a posteriori nulle : Dans les expériences "aidées par la DNS" (où le résidu exact est calculé à partir de données de simulation numérique directe et injecté dans l'équation LES), l'expression proposée du RST produit une erreur a posteriori nulle. En revanche, les expressions de RST classiques produisent des erreurs qui s'accumulent au fil du temps.
• Amélioration de la modélisation de la fermeture : Lorsque le nouveau RST est utilisé comme donnée cible pour ajuster le coefficient d'un modèle de Smagorinsky, le coefficient résultant est plus élevé que lorsqu'il est ajusté au RST classique. Cela conduit à des performances améliorées en termes de spectres d'énergie et d'erreur relative, particulièrement pour de faibles ratios filtre-grille ($\Delta/h$).

Résultats
Les auteurs valident leur théorie en utilisant deux cas de test : l'équation de Burgers visqueuse en 1D et la turbulence isotrope décroissante en 3D.

• Équation de Burgers 1D :

  • Analyse a priori : L'étude montre que pour des ratios de filtrage courants ($\Delta \le 4h$), les erreurs de discrétisation (termes de flux et de divergence) constituent une partie significative (jusqu'à 70-80 %) du résidu total. Négliger ces termes conduit à une mauvaise représentation du résidu réel.
  • Analyse a posteriori : L'utilisation du résidu exact informé par la discrétisation comme terme de fermeture permet une reconstruction "parfaite" de la solution DNS filtrée.
  • Modèle de Smagorinsky : L'ajustement du coefficient de Smagorinsky au nouveau RST produit un coefficient plus élevé par rapport à l'ajustement au RST classique. Les simulations utilisant ce coefficient informé présentent des erreurs relatives plus faibles et des spectres d'énergie qui correspondent mieux à la DNS filtrée, particulièrement pour les faibles ratios $\Delta/h$.

• Équations de Navier-Stokes 3D :

  • La dérivation confirme que le RST 3D est non symétrique et non local.
  • Les expériences aidées par la DNS sur la turbulence décroissante en 3D confirment que le cadre proposé capture correctement la contrainte résiduelle, validant l'extension de la théorie 1D à l'écoulement complet incompressible.

Signification et affirmations
L'article soutient que la séparation traditionnelle entre "modéliser la physique" (fermeture LES) et "modéliser la numérerie" (discrétisation) est erronée lorsque la largeur du filtre et le pas de grille sont comparables. En unifiant ces processus dans le cadre LES-FVM, les auteurs fournissent une définition mathématiquement rigoureuse de la contrainte non résolue qui est cohérente avec le schéma numérique.

La principale signification réside dans la démonstration que les erreurs induites par la discrétisation ne sont pas de simples bruits numériques mais font partie intégrante de la contrainte résiduelle qui doit être prise en compte dans le modèle de fermeture. Les auteurs soutiennent que l'utilisation du RST classique comme cible pour les modèles de fermeture basés sur les données ou ajustés introduit une incohérence fondamentale, menant à des coefficients de modèle sous-optimaux et à des erreurs accumulées. Le "RST informé par la discrétisation" proposé fournit la bonne donnée cible, permettant le développement de modèles de fermeture plus précis et stables, particulièrement pour la LES implicite ou les scénarios avec des grilles grossières où $\Delta \approx h$.

Les auteurs restent modestes quant à l'application immédiate de ces résultats aux écoulements industriels complexes, notant que bien que le nouveau RST améliore les performances du modèle de Smagorinsky simple, le plein potentiel de ce cadre sera probablement réalisé avec des modèles de fermeture plus expressifs, non locaux et non symétriques (par exemple, des approches basées sur l'apprentissage automatique) qui pourront pleinement exploiter la structure du résidu dérivé.