Exact expressions for the unresolved stress in a finite-volume based large-eddy simulation

技術要約：有限体積法に基づくラージエディシミュレーションにおける未分解応力の厳密な表現

問題提起
ラージエディシミュレーション（LES）は、大きなスケールを解像し、未分解のサブグリッドスケールの影響をモデル化することで、乱流をモデル化することを目的としている。伝統的に、LESにおける閉鎖問題は、空間フィルタリングと非線形移流項の非可換性に起因する交換子誤差、すなわち古典的な残留応力テンソル $\tau_{ij} = \overline{u_i u_j} - \bar{u}_i \bar{u}_j$ に焦点を当ててきた。しかし、実際のシミュレーションでは、LESは数値離散化スキーム、最も一般的には有限体積法（FVM）を用いて解かれる。

極めて重要な問題は、LESのフィルタ幅 $\Delta$ が、多くの場合、格子間隔 $h$ と同程度の大きさ（すなわち $\Delta \approx h$）であることである。このような領域では、数値フラックスや離散ダイバージェンス演算子から生じる離散化誤差が、物理的なサブフィルタ応力と同等のオーダーとなる。古典的なアプローチは、連続方程式に基づいて閉鎖モデルを定義してから離散化を行うか、あるいは離散化誤差を別途の収束問題として扱う。このような分離は、ターゲットとなるデータ（真の残留成分）とモデルとの間にミスマッチを生じさせる。特に、離散化自体が顕著な非局所的または非対称な効果をもたらす場合、標準的な対称・局所的な閉鎖モデル（スマゴリンスキーモデルなど）ではこれらを捉えることができない。

手法
著者らは、LESのフィルタリングプロセスをFVMの離散化に直接統合した、LES-FVMと呼ばれる統一された数学的枠組みを提案している。コアとなる手法は以下の通りである：

1. 統一された定式化： 連続方程式にLESフィルタリングを適用してから離散化するのではなく、FVMフィルタ（制御体積に対する体積平均）をLESフィルタリングされた方程式に適用する。これにより、フィルタ幅 $\Delta$ と格子間隔 $h$ を独立したパラメータとして扱う「二重フィルタリング」されたシステムが作成される。
2. 厳密な残留の導出： 「離散フィルタースワップ」特性（有限差分演算子がフィルタリングされた厳密な微分に等価であるという性質）を利用することで、離散化された方程式における残留フラックスの厳密な表現を導出する。
3. 残留の分解： 全残留フラックス $\tau_{\Delta,h}$ を、以下の3つの明確な成分に分解する：
   • 古典的項： 二重フィルタ（$\Delta$ および $h$）に関連する標準的な交換子誤差。
   • フラックス項： 正確なフラックスと数値フラックス（$r$ 対 $r_h$）の差に起因する誤差。
   • ダイバージェンス項： 正確なダイバージェンスと離散ダイバージェンスの差に起因する誤差。
4. 3次元非圧縮性流体への拡張： 本フレームワークを3次元非圧縮ナビエ・ストークス方程式に拡張する。これには、離散的な設定において速度場が発散フリーであることを保証するために、圧力項を射影演算子を介して扱う必要がある。著者らは、圧力射影と離散化の相互作用を考慮した射影されたRSTを導出している。

主な貢献

• 厳密な離散化情報に基づくRST： 著者らは、FVMベースのLESにおける未分解応力テンソルの厳密な表現を導出した。この新しい表現は、古典的なRSTとは異なり、数値フラックスと離散ダイバージェンス演算子の寄与を明示的に含んでいる。
• 非対称性と非局所性： 非圧縮性流体について、著者らは提案されたLES-FVM RSTが本質的に非対称かつ非局所的（圧力射影による）であることを示している。これは、通常、対称かつ局所的であると仮定される古典的なLES RSTとは対照的である。
• ゼロの事後誤差（A-Posteriori Error）： 「DNS支援型」実験（（DNSの正確な残留を計算し、それをLES方程式に注入する手法）において、提案されたRST表現はゼロの事後誤差を与える。対照的に、古典的なRST表現は誤差を蓄積させる。
• 改善された閉鎖モデリング： 新しいRSTをスマゴリンスキーモデルの係数を適合させるためのターゲットデータとして使用すると、古典的なRSTに対して適合させた場合よりも高い係数が得られる。これにより、特に小さなフィルタ対格子比（$\Delta/h$）において、エネルギースペクトルと相対誤差の両面で優れた性能を示す。

結果
著者らは、1次元粘性Burgers方程式と3次元減衰等方性乱流の2つのテストケースを用いて理論を検証している。

• 1次元Burgers方程式：

  • 事前解析（A-Priori Analysis）： 本研究は、一般的なフィルタ比（$\Delta \le 4h$）において、離散化誤差（フラックスおよびダイバージェンス項）が全残留の大部分（70-80%）を占めることを示している。これらの項を無視することは、真の残留の不適切な表現につながる。
  • 事後解析（A-Posteriori Analysis）： 離散化情報を考慮した厳密な残留を閉鎖項として使用すると、フィルタリングされたDNS解の「完全な」再構成が可能となる。
  • スマゴリンスキーモデル： 新しいRSTに対してスマゴリンスキー係数を適合させると、古典的なRSTと比較して高い係数値が得られる。この情報に基づいた係数を用いたシミュレーションは、特に低い $\Delta/h$ 比において、相対誤差が低く、エネルギースペクトルがフィルタリングされたDNSによく一致する。

• 3次元ナビエ・ストークス方程式：

  • 導出により、3次元RSTが非対称かつ非局所的であることが確認された。
  • 3次元減衰乱流を用いたDNS支援型実験により、提案されたフレームワークが残留応力を正しく捉えることが確認され、1次元理論の完全非圧縮流への拡張が検証された。

意義と主張
本論文は、「物理のモデリング」（LES閉鎖）と「数値のモデリング」（離散化）を分離するという伝統的な考え方は、フィルタ幅と格子間隔が同程度である場合には不備がある、と主張している。LES-FVMへとこれらのプロセスを統合することにより、著者らは、数値的なノイズではなく、閉鎖モデルに考慮されるべき不可欠な要素として、離散化に起因する誤差を定義する、数学的に厳密な未分解応力の定義を提供している。

主要な意義は、離散化に起因する誤差は単なる数値的なノイズではなく、残留応りの不可欠な一部であるということを示した点にある。古典的なRSTをデータ駆動型またはチューニングされた閉鎖モデルのターゲットとして使用することは、根本的な不整合を導入し、最適なモデル係数の決定を妨げ、誤差を蓄積させる原因となる。提案された「離散化情報に基づく」RSTは、正しいターゲットデータを提供し、特に $\Delta \approx h$ となるインプリシットLESや粗い格子を用いるシナリオにおいて、より正確で安定した閉鎖モデルの開発を可能にする。

著者らは、複雑な産業用流動への即時的な適用については控えめな姿勢を維持しており、新しいRSTが単純なスマゴリンスキーモデルの性能を向上させる一方で、その真のポテンシャルは、導出された残留の構造を完全に活用できる、より表現力豊かな非局所的かつ非対称な閉鎖モデル（機械学習ベースのアプローチなど）によって実現されるであろうと述べている。