When is the diagonal contractible?

Résumé Technique : Quand la diagonale est-elle contractible ?

Énoncé du Problème
Cet article étudie les conditions géométriques sous lesquelles la diagonale $\Delta_X \subset X \times X$ d'une variété complexe projective lisse $X$ peut être contractée via un morphisme birationnel $\pi: X \times X \to Y$ vers une sous-variété de dimension inférieure. Plus précisément, les auteurs abordent deux questions primordiales :

1. Contraction en un point : Existe-t-il un morphisme projectif birationnel tel que $\pi(\Delta_X)$ soit un point unique ?
2. Contraction générale : Existe-t-il une contraction telle que $\dim \pi(\Delta_X) = m < \dim X$ ?

Les auteurs notent que si le cas $\dim X = 1$ (courbes) est classique, le cas de dimension supérieure dépend de propriétés de positivité subtiles de $X$. L'article vise à résoudre cela en liant la contractibilité de la diagonale aux propriétés du morphisme d'Albanese.

Méthodologie
La méthodologie centrale repose sur l'interaction entre la géométrie de $X$, sa variété d'Albanese $A = \text{Alb}(X)$, et la application de différence induite. Les auteurs utilisent les outils structurels suivants :

• L'application de différence : Ils définissent l'application $\lambda: X \times X \to A$ par $\lambda(x_1, x_2) = \text{alb}(x_1) - \text{alb}(x_2)$, où $\text{alb}: X \to A$ est le morphisme d'Albanese.
• Théorie des diviseurs et nombres d'intersection : Les preuves utilisent la théorie des diviseurs grands (big) et semi-amples. En supposant qu'une contraction existe, les auteurs construisent un diviseur $D$ sur $X \times X$ qui est grand et nef mais s'annule sur la diagonale (ou son image).
• Décomposition de Künneth et groupes de Picard : Une étape technique cruciale consiste à décomposer les diviseurs sur $X \times X$ en utilisant la formule de Künneth. Le Lemme 3.2 établit que tout diviseur dans $\text{Pic}_{\mathbb{Q}}(X \times X)$ peut s'écrire comme une somme de pullbacks provenant de $X$ et d'un pullback provenant de la variété d'Albanese $A \times A$. Cela permet aux auteurs de relier la positivité des diviseurs sur $X \times X$ à la géométrie de l'image d'Albanese.
• Symétrisation : Pour traiter la symétrie du produit $X \times X$, les auteurs procèdent souvent à la symétrisation des diviseurs (en utilisant l'involution $\sigma(x_1, x_2) = (x_2, x_1)$) afin de dériver des contradictions ou des conditions nécessaires concernant la dimension de l'image de $\lambda$.

Contributions Clés et Résultats

1. Caractérisation de la contraction en un point (Théorème 1.4)
L'article établit que la diagonale $\Delta_X$ est contractible en un point si et seulement si un ensemble de conditions équivalentes est vérifié, impliquant principalement le morphisme d'Albanese. Soient $n = \dim X$ et $q = h^1(X, \mathcal{O}_X) = \dim \text{Alb}(X)$. Les points suivants sont équivalents :

• (A) $\Delta_X$ est contractible en un point.
• (B) L'image de l'application de différence $\lambda$ a pour dimension $2n$ (c'est-à-dire que $\lambda$ est génériquement finie sur son image).
• (C) La variété d'Albanese satisfait $\dim \text{Alb}(X) \ge 2n$, et pour toute sous-variété abélienne $B \subset \text{Alb}(X)$ et tout point général $a$, $\dim B \ge 2 \dim((B+a) \cap \text{alb}(X))$.
• (D) Deux points généraux de $X$ imposent des conditions indépendantes sur le fibré cotangent holomorphe $\Omega^1_X$. De manière équivalente, l'application d'évaluation $H^0(\Omega^1_X) \to \Omega^1_{X,x} \oplus \Omega^1_{X,y}$ est surjective pour $x, y$ généraux.

Les auteurs précisent que la condition (C) est strictement plus forte que la simple « non-dégénérescence » de l'image d'Albanese ; elle exige une « non-dégénérescence géométrique » spécifique par rapport aux sous-variétés abéliennes.

2. Contraction vers des dimensions supérieures (Théorème 1.6)
Pour les contractions vers une variété de dimension $m < n$, l'article fournit une condition nécessaire et suffisante : il doit exister un morphisme dominant $\pi: X \to W$ (où $\dim W = m$) tel que pour une fibre générale $X_p$, la restriction de l'application de différence $\lambda$ à $X_p \times X_p$ est génériquement finie sur son image.

3. Isomorphisme hors de la diagonale (Théorème 1.8)
Les auteurs traitent de la variante plus forte où la contraction est un isomorphisme en dehors de la diagonale. Ils prouvent que cela se produit si et seulement si le morphisme d'Albanese est fini et birationnel sur son image, et que l'application de différence restreinte à l'image d'Albanese est finie en dehors de la diagonale. Cela implique que l'intersection de l'image d'Albanese avec ses translatés doit être de dimension zéro.

4. Non-contractibilité dans des produits d'ordre supérieur (Théorème 1.9)
L'article démontre que pour toute variété projective lisse $X$ avec $\dim X > 0$ et $n \ge 3$, il est impossible de contracter simultanément toutes les diagonales par paires $\Delta_{ij} \subset X^n$ en des points via un seul morphisme birationnel.

Exemples et Classification

• Courbes : La diagonale d'une courbe $C$ est contractible si et seulement si le genre $g \ge 2$.
• Surfaces : La diagonale d'une surface $S$ est contractible en un point seulement si $S$ est de type général (Corollaire 2.7). L'article classifie les surfaces avec $\kappa(S) \le 1$ satisfaisant les conditions numériques, montrant qu'elles sont des quotients de produits de courbes mais qu'elles échouent à la non-dégénérescence géométrique requise pour une contractibilité réelle.
• Produits de courbes : La diagonale d'un produit de courbes $C_1 \times \dots \times C_n$ (avec $g_i \ge 2$) est contractible en un point. Plus généralement, elle peut être contractée vers une variété de dimension $t$ pour tout $0 \le t \le n-1$.
• Sous-variétés de variétés abéliennes : Les sous-variétés géométriquement non dégénérées $X \subset A$ avec $\dim A \ge 2 \dim X$ satisfont les conditions de contractibilité.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que la question de la contractibilité de la diagonale, bien qu'apparemment complexe, est fondamentalement équivalente aux propriétés du morphisme d'Albanese. Ils corrigent une hypothèse antérieure de leurs propres travaux (et potentiellement de la littérature) selon laquelle la dimension de l'image d'Albanese seule ($q \ge 2n$) était suffisante ; ils démontrent que l'interaction avec les sous-variétés abéliennes (Condition C) est nécessaire lorsque la variété d'Albanese n'est pas simple.

L'article souligne que l'image $Y$ d'une telle contraction est typiquement singulière le long de l'image de la diagonale, citant des résultats généraux sur la non-lisséité de ces contractions. Le travail relie la positivité du cycle $[\Delta_X]$ et du fibré $\Omega^1_X$ à l'existence de ces applications birationnelles, montrant que si l'amplitude de $\Omega^1_X$ n'est ni nécessaire ni suffisante, les propriétés de génération globale en des points doubles sont centrales.

Les auteurs concluent en notant que l'application de différence vers le Jacobien (ou l'Albanese) est essentiellement l'unique morphisme contractant la diagonale dans des cas spécifiques (par exemple, lorsque la contraction est un isomorphisme en dehors de la diagonale), bien qu'ils laissent ouverte la question de savoir si cette unicité tient généralement pour toutes les contractions génériquement finies.