When is the diagonal contractible?

技術要約：対角線はいつ縮約可能か？

問題提起
本論文は、滑らかな射影複素多様体 $X$ の対角線 $\Delta_X \subset X \times X$ が、より低次元の多様体への双有理射影 $\pi: X \times X \to Y$ によって縮約可能となる幾何学的条件を調査している。具体的には、著者らは以下の2つの主要な問いに取り組んでいる：

1. 点の縮約： $\pi(\Delta_X)$ が単一の点となるような双有理射影的射影的射影が存在するのはどのような場合か？
2. 一般的な縮約： $\dim \pi(\Delta_X) = m < \dim X$ となるような縮約が存在するのはどのような場合か？

著者らは、$\dim X = 1$（曲線）の場合が古典的である一方で、高次元の場合には $X$ の微妙な正値性に依存することを指摘している。本論文は、対角線の縮約可能性をアルベネス写像の性質に結びつけることで、この問題を解決することを目指している。

手法
核となる手法は、$X$ の幾何学、そのアルベネス多様体 $A = \text{Alb}(X)$、および誘導される差写像の相互作用に基づいている。著者らは以下の構造的ツールを用いている：

• 差写像： 著者らは、$\lambda(x_1, x_2) = \text{alb}(x_1) - \text{alb}(x_2)$ となる写像 $\lambda: X \times X \to A$ を定義する（ここで $\text{alb}: X \to A$ はアルベネス写像である）。
• 因子理論と交差数： 証明には、大（big）かつ半正（semi-ample）な因子の理論を用いる。縮約が存在すると仮定することで、著者らは $X \times X$ 上の、対角線（またはその像）上で消える大かつ正な因子 $D$ を構成する。
• クネース分解とピカール群： $X \times X$ 上の因子の分解にクネース公式を用いることが重要な技術的ステップである。補題 3.2 は、$\text{Pic}_{\mathbb{Q}}(X \times X)$ 内の任意の因子が、$X$ からのプルバックと $A \times A$ からのプルバックの和として記述できることを確立している。これにより、著者らは $X \times X$ 上の因子の正値性をアルベネス像の幾何学に関連付けることができる。
• 対称化： 積 $X \times X$ の対称性を扱うため、著者らはしばしば因子を対称化する（対合 $\sigma(x_1, x_2) = (x_2, x_1)$ を用いる）。これにより、矛盾や $\lambda$ の像の次元に関する必要条件を導き出す。

主要な貢献と結果

1. 点の縮約の特性付け (定理 1.4)
本論文は、対角線 $\Delta_X$ が一点に縮約可能であるための必要十分条件として、主にアルベネス写像に関わる一連の同値条件を確立している。$n = \dim X$ および $q = h^1(X, \mathcal{O}_X) = \dim \text{Alb}(X)$ とする。以下は同値である：

• (A) $\Delta_X$ は一点に縮約可能である。
• (B) 差写像 $\lambda$ の像の次元は $2n$ である（すなわち、$\lambda$ はその像に対して一般的に有限である）。
• (C) アルベネス多様体は $\dim \text{Alb}(X) \ge 2n$ を満たし、かつ任意のアーベル部分多様体 $B \subset \text{Alb}(X)$ と一般の点 $a$ に対して、$\dim B \ge 2 \dim((B+a) \cap \text{alb}(X))$ が成り立つ。
• (D) $X$ の2つの一般な点は、正則余接束 $\Omega^1_X$ に対して独立な条件を課す。これに等価なのは、評価写像 $H^0(\Omega^1_X) \to \Omega^1_{X,x} \oplus \Omega^1_{X,y}$ が一般の $x, y$ に対して全射であることである。

著者らは、条件 (C) が単なるアルベネス像の「非退化性」よりも厳しく、アーベル部分多様体に対する特定の「幾何学的非退化性」を要求することを明確にしている。

2. 高次元への縮約 (定理 1.6)
次元 $m < n$ の多様体への縮約については、必要十分条件が提供されている：優越な射影的射影 $\pi: X \to W$（ここで $\dim W = m$）が存在し、一般のファイバー $X_p$ に対して、差写像 $\lambda$ の $X_p \times X_p$ への制限がその像に対して一般的に有限であることである。

3. 対角線外での同型性 (定理 1.8)
著者らは、縮約が対角線外で同型となる、より強いバリアントについて検討している。これは、アルベネス写像がその像の上で有限かつ双有理であり、かつアルベネス像に制限された差写像が対角線外で有限である場合に起こることを証明している。これは、アルベネス像とその平行移動の共通部分が 0 次元であることを意味する。

4. 高次積における非縮約可能性 (定理 1.9)
本論文は、$\dim X > 0$ かつ $n \ge 3$ である任意の滑らかな射影多様体 $X$ について、単一の双有理射影によってすべてのペアの対角線 $\Delta_{ij} \subset X^n$ を同時に一点に縮約することは不可能であることを証明している。

例と分類

• 曲線： 曲線 $C$ の対角線が縮約可能であるための必要十分条件は、種数 $g \ge 2$ であることである。
• 曲面： 曲面 $S$ の対角線が一点に縮約可能であるためには、$S$ が一般型である必要がある（系 2.7）。本論文は、数値的条件を満たす $\kappa(S) \le 1$ の曲面を分類しており、それらが曲線の積の商ではあるものの、実際の縮約に必要な幾何学的非退化性に欠けることを示している。
• 曲線の積： 曲線の積 $C_1 \times \dots \times C_n$ （ただし $g_i \ge 2$）の対角線は一点に縮約可能である。より一般には、任意の $0 \le t \le n-1$ に対して、次元 $t$ の多様体に縮約可能である。
• アーベル多様体の部分多様体： 幾何学的に非退化な部分多様体 $X \subset A$（ただし $\dim A \ge 2 \dim X$）は、縮約条件を満たす。

意義と主張
著者らは、対角線の縮約可能性という問いは、一見複雑に見えるものの、根本的にはアルベネス写像の性質に等しいと主張している。彼らは、アルベネス像の次元のみ（$q \ge 2n$）が十分であるという、彼ら自身の以前の研究（およびおそらく文献におけるもの）の仮定を修正している。すなわち、アルベネス多様体が単純でない場合、アーベル部分多様体との相互作用（条件 C）が必要であることを示している。

本論文は、縮約の像 $Y$ は通常、対角線の像に沿って特異であることを強調しており、そのような縮約の非平滑性に関する一般的な結果を引用している。この研究は、サイクル $[\Delta_X]$ と束 $\Omega^1_X$ の正値性と、双有理写像の存在を結びつけており、$\Omega^1_X$ の強 амплиチュード（ampleness）は必要条件でも十分条件でもないが、2点における大域的生成性が中心的であることを示している。

著者らは、差写像（ヤコビアンまたはアルベネスへの写像）は、特定のケース（例：縮約が対角線外で同型である場合）において、対角線を縮約する唯一の射影であると結論付けているが、この一意性がすべての一般的に有限な縮約に対して保持されるかどうかについては、未解決のままとしている。