The bixplot: A variation on the boxplot suited for bimodal data

Résumé technique : Le Bixplot

Énoncé du problème
Les auteurs identifient une limitation significative du diagramme en boîte standard, pierre angulaire de l'Analyse Exploratoire des Données (AED) introduite par Tukey (1977). Bien qu'efficace pour les distributions unimodales, le diagramme en boîte suppose implicitement l'unimodalité et ne peut représenter visuellement des données bimodales ou multimodales. Les extensions existantes, telles que le vaseplot (Benjamini, 1988), le violin plot (Hintze et Nelson, 1998) et le beanplot (Kampstra, 2008), améliorent le diagramme en boîte en affichant des courbes de densité ou des points de données individuels. Cependant, ces méthodes ne détectent ni ne séparent explicitement les modes distincts. Par conséquent, les statistiques de résumé au sein de ces graphiques (par exemple, la médiane et les quartiles) peuvent être trompeuses si les données proviennent d'un mélange de sous-populations, et la représentation visuelle peut échouer à distinguer clairement les clusters qui se chevauchent.

Méthodologie
L'article propose le bixplot, un outil de visualisation conçu pour détecter et afficher des structures unimodales, bimodales et multimodales dans des données univariées. La construction d'un bixplot implique un pipeline algorithmique spécifique :

1. Test d'unimodalité :

   • L'algorithme évalue d'abord le nombre de valeurs non manquantes ($n$). Si $n$ est faible (spécifiquement $n < 2 \times \text{minN}$, où $\text{minN}=15$ par défaut) ou si l'utilisateur force un seul cluster ($k_{max}=1$), les données sont traitées comme unimodales.
   • Pour des ensembles de données plus grands, le test de dip de Hartigan (Hartigan et Hartigan, 1985) est appliqué pour tester l'hypothèse nulle d'unimodalité. Le test calcule la distance verticale maximale entre la fonction de distribution empirique et la distribution unimodale la plus proche. Si la valeur $p$ est inférieure à un niveau de signification (0,01 par défaut), l'unimodalité est rejetée.

2. Clustering univarié contraint :

   • Si les données sont jugées non unimodales, un algorithme de clustering spécialisé est employé pour séparer les données en clusters contigus (intervalles où aucun membre de cluster n'est imbriqué dans un autre).
   • La méthode utilise le clustering par $k$-médoïdes (Partitioning Around Medoids, PAM) pour sélectionner de véritables points de données comme centres de cluster.
   • Crucialement, les auteurs implémentent une version contrainte du $k$-médoïdes. Pour garantir que les clusters sont significatifs et soutiennent l'estimation de densité, l'algorithme impose une contrainte selon laquelle chaque cluster doit contenir au moins un nombre minimum de valeurs uniques ($\text{clusMinN}$, défaut 3). Cela empêche les points isolés ou les valeurs liées de former des clusters spurius. L'algorithme utilise une méthode de transport pour réaffecter les points de manière itérative, minimisant l'écart total tout en satisfaisant les contraintes.

3. Sélection de clusters :

   • L'algorithme évalue les nombres de clusters ($k$) de 2 jusqu'à un maximum défini par l'utilisateur ($k_{max}$, défaut 7).
   • Le nombre optimal de clusters est sélectionné en fonction du score de silhouette le plus élevé (Rousseeuw, 1987), qui mesure à quel point les points s'intègrent dans leurs clusters attribués par rapport aux autres clusters.

4. Construction de la visualisation :

   • Données unimodales : Affiche un diagramme en boîte standard superposé à une estimation de densité par noyau (similaire à un violin plot) et un rug plot (style beanplot) montrant les points de données individuels.
   • Données multimodales : Les données sont divisées en les clusters identifiés. Chaque cluster est affiché comme un « corps » séparé avec sa propre courbe de densité, son diagramme en boîte et son rug plot.
   • Options de taille : La surface des corps de cluster peut être proportionnelle à la taille du cluster, égalisée entre les clusters, ou définie avec une largeur égale.
   • Coloration : Les lignes du rug peuvent être colorées en fonction de variables externes continues ou catégorielles pour révéler des relations.

Contributions clés

• La visualisation Bixplot : Un nouvel affichage graphique qui combine le diagramme en boîte, la trace de densité (violin) et le rug plot (bean), spécifiquement adapté pour gérer les données multimodales en les séparant en clusters distincts et contigus.
• Algorithme de $k$-médoïdes contraint : Une adaptation novatrice de la méthode $k$-médoïdes qui impose un nombre minimum de valeurs uniques par cluster et assure la contiguïté des clusters, conçue spécifiquement pour identifier les modes dans des données univariées.
• Implémentation logicielle : Les auteurs fournissent des implémentations robustes en Python (package bixplot) et en R (fonction bixplot() dans le package classmap). Ces implémentations sont conçues avec des paramètres par défaut pratiques pour permettre des appels de fonction courts tout en offrant des options de personnalisation étendues pour les couleurs, les largeurs de ligne et la taille.

Résultats et applications
L'article illustre l'utilité du bixplot à travers plusieurs ensembles de données réels :

• Comportement des poissons : A détecté une bimodalité dans les temps de latence à travers les tours expérimentaux, montrant des déplacements des centres de mode.
• Pingouins de Palmer : A révélé une bimodalité dans les longueurs de bec pour les pingouins de l'île Dream (distinguant des sous-groupes non visibles dans les violin plots standards) et a permis une comparaison directe des sexes au sein des îles en utilisant des bixplots « demi ».
• Données Iris : A identifié que la longueur et la largeur des pétales contiennent plus de structure (bimodale/multimodale) que les dimensions des sépales, aidant à la séparation des espèces sans connaissance préalable des étiquettes de classe.
• Données Martin-pêcheur : A démontré la capacité à gérer des données multimodales complexes (7 clusters dans la longueur de l'aile), tout en notant que la distinction visuelle devient difficile avec un grand nombre de clusters.
• Cartographie des couleurs : A visualisé avec succès les relations entre les rug plots et des variables externes (par exemple, la masse corporelle chez les pingouins, les espèces dans les données iris).

Signification et affirmations
Les auteurs positionnent le bixplot strictement comme un outil exploratoire destiné à aider l'intuition de l'utilisateur et à révéler d'éventuels sous-groupes au sein des données. Ils déclarent explicitement que le bixplot n'est pas une méthode confirmatoire ; l'identification de clusters (par exemple, trois clusters dans une variable) est une indication de structure, et non une confirmation statistique de la composition exacte de la population. La méthode évite les hypothèses probabilistes (telles que la gaussianité) requises par les modèles de mélange inférentiels, la rendant adaptée à une plus large gamme de distributions de données. La signification principale réside dans sa capacité à laisser les données « parler » concernant la modalité, comblant une lacune spécifique dans les outils d'AED existants où les diagrammes en boîte standards échouent et où les graphiques de densité manquent de séparation explicite des clusters.