Theta correspondence and the Borisov-Gunnells relations

Résumé technique : Correspondance $\theta$ et relations de Borisov-Gunnells

Énoncé du problème
Cet article étudie la correspondance géométrique $\theta$ de la première homologie d'une courbe modulaire $Y_1(N)$ vers l'espace des formes modulaires holomorphes de poids 2, $M_2(\Gamma_1(N))$. L'objectif principal est d'évaluer explicitement cette correspondance sur des générateurs spécifiques du groupe d'homologie — à savoir les symboles modulaires, les chapeaux modulaires et les cycles hyperboliques — afin de retrouver et d'expliquer les résultats connus concernant les ensembles de générateurs des formes modulaires. Plus précisément, l'auteur cherche à clarifier la relation entre les travaux de Borisov et Gunnells, qui ont décrit l'espace des nouvelles formes de rang 0 et des séries d'Eisenstein en utilisant des produits de séries d'Eisenstein de poids 1, et les travaux de Li, qui ont décrit des espaces similaires en utilisant des restrictions diagonales de séries d'Eisenstein de Hilbert. Un objectif secondaire est d'utiliser ce cadre géométrique pour dériver des relations linéaires parmi les séries d'Eisenstein.

Méthodologie
La méthodologie repose sur la construction d'une forme différentielle fermée $E(z, \tau)$ sur la courbe modulaire, à valeurs dans les formes modulaires de poids 2. Cette construction combine les idées de Bergeron-Charollois-Garcia et de Kudla-Millson, en utilisant le formalisme de Mathai-Quillen et la représentation de Weil.

1. Configuration géométrique : L'auteur considère la compactification de Borel-Serre $Y_1(N)^{BS}$ de la courbe modulaire. L'homologie $H_1(Y_1(N); \mathbb{C})$ est décomposée, suivant Stevens, en une somme directe de l'espace des chapeaux modulaires fermés $C(C)$ et de l'espace des symboles modulaires de degré 0 $MS_0(\mathbb{C})$.
2. Lifting $\theta$ : La application $E: H_1(Y_1(N); \mathbb{C}) \to M_2(\Gamma_1(N))$ est définie par l'intégration de la forme différentielle $E(z, \tau)$ sur des 1-cycles. La forme est construite via la poussée directe d'une série $\theta$ associée à un coset de réseau $L_{1,0}$ dans l'espace des matrices $2 \times 2$.
3. Évaluation explicite :
   • Chapeaux modulaires : L'intégrale sur un chapeau modulaire fermé $C_r$ au bord d'un cusp $r$ est calculée en analysant le terme constant de la forme au bord.
   • Symboles modulaires : L'intégrale sur des symboles unimodulaires est calculée en utilisant la sommation de Poisson et la restriction de la série $\theta$ aux géodésiques.
   • Cycles hyperboliques : En utilisant l'algorithme de fraction continue de Stevens, les cycles hyperboliques $Z_\gamma$ sont décomposés en combinaisons linéaires de chapeaux modulaires et de symboles unimodulaires. L'intégrale est ensuite évaluée terme à terme.
4. Analyse spectrale : L'image du lifting $\theta$ est analysée à l'aide de la décomposition spectrale de la cohomologie, reliant le lifting aux nouvelles formes avec des valeurs $L$ non nulles en $s=1$ et aux séries d'Eisenstein.

Contributions clés et résultats

• Évaluation sur les générateurs de l'homologie (Théorème 1.4) :

  • L'intégrale du lifting $\theta$ sur un chapeau modulaire fermé $C_r$ (où $r = \gamma \infty$) produit une série d'Eisenstein de poids 2 $H^{(2)}_{d, -c}(\tau)$.
  • L'intégrale sur un symbole unimodulaire $M = \gamma\{0, \infty\}$ produit le produit de deux séries d'Eisenstein de poids 1, spécifiquement $-G^{(1)}_d(\tau)G^{(1)}_c(\tau)$.

• Ensembles de générateurs et résultat de Li (Théorèmes 1.2, 1.3 et 3.15) :

  • L'image du lifting $\theta$, $\text{Im}(E)$, contient le sous-espace engendré par les séries d'Eisenstein de poids 2 $H^{(2)}$ et le sous-espace des nouvelles formes de rang 0 ($S^{new}_{2, rk=0}$). Lorsque $N$ est premier, cette inclusion est une égalité.
  • En évaluant le lifting sur des cycles hyperboliques $Z_\gamma$, l'auteur retrouve le résultat de Li : l'espace $S^{new}_{2, rk=0}$ est engendré par les restrictions diagonales de séries d'Eisenstein de Hilbert $E^{(1)}_{1, f_\gamma}(\tau, \tau)$.
  • L'article établit que $\text{Im}(E)$ est contenu dans l'espace engendré par les séries d'Eisenstein de poids 2 et les produits de séries d'Eisenstein de poids 1 ($H^{(1,1)}$), fournissant ainsi une explication géométrique de l'ensemble de générateurs décrit par Borisov et Gunnells.

• Relations parmi les séries d'Eisenstein (Théorème 1.6 et 4.10) :

  • En considérant un triangle hyperbolique $T$ dans la compactification de Borel-Serre dont le bord est constitué de trois symboles unimodulaires et de trois chapeaux modulaires, l'auteur exploite le fait que le bord est homologue à zéro ($\partial T = 0$).
  • Cela produit la relation :
    $$G^{(1)}_a G^{(1)}_b + G^{(1)}_b G^{(1)}_c + G^{(1)}_c G^{(1)}_a = G^{(2)}_a + G^{(2)}_b + G^{(2)}_c$$
    pour des entiers $a, b, c$ satisfaisant $a+b+c \equiv 0 \pmod N$ et non nuls modulo $N$. Cela fournit une preuve géométrique des relations précédemment établies par Borisov et Gunnells.

Signification
L'article affirme sa signification en fournissant un cadre géométrique unifié qui relie deux descriptions distinctes des espaces de formes modulaires :

1. Il explique les relations de Borisov-Gunnells (produits de séries d'Eisenstein de poids 1) et les résultats de Li (restrictions diagonales de séries d'Eisenstein de Hilbert) comme des conséquences naturelles de l'évaluation d'un unique lifting $\theta$ géométrique sur différents générateurs d'homologie.
2. Il offre une preuve géométrique de relations linéaires spécifiques entre les séries d'Eisenstein de poids 1 et 2, dérivées directement de la topologie de la courbe modulaire et des propriétés du lifting $\theta$, plutôt que de simples manipulations analytiques.
3. Il clarifie le rôle de la compactification de Borel-Serre et des chapeaux modulaires dans la théorie des symboles modulaires, démontrant comment les termes de bord (chapeaux) correspondent aux séries d'Eisenstein tandis que les termes intérieurs (symboles) correspondent aux produits de séries de poids inférieur.

L'auteur note que bien que les résultats concernant les ensembles de générateurs soient similaires à la littérature existante (spécifiquement [BG01] et [Li17]), la contribution réside dans la dérivation via la correspondance $\theta$ et l'interprétation géométrique explicite des coefficients de Fourier et des intégrales.