Theta correspondence and the Borisov-Gunnells relations

技術要約：シータ対応とボリスフ・ガネルの関係

問題提起
本論文は、モジュラー曲線 $Y_1(N)$ の第1ホモロジー論理から、ウェイト2の正則モジュラー形式の空間 $M_2(\Gamma_1(N))$ への幾何学的シータ対応を調査するものである。主な目的は、ホモロジー群の特定の生成元（すなわち、モジュラー記号、モジュラーキャップ、および双曲サイクル）上でこの対応を明示的に評価し、モジュラー形式の生成集合に関する既知の結果を回収し、説明することである。具体的には、ウェイト1のアイゼンシュタイン級数の積を用いてランク0のニューフォームおよびアイゼンシュタイン級数の空間を記述したボリスフ（Borisov）とガネル（Gunnells）の研究と、ヒルベルト・アイゼンシュタイン級数の対角制限を用いて同様の空間を記述したリ（Li）の研究との関係を明確にすることを目的とする。二次的な目標は、この幾何学的枠組みを利用して、アイゼンシュタイン級数の間の線形関係を導出することである。

手法
手法は、モジュラー曲線上のウェイト2のモジュラー形式に値を持つ閉微分形式 $E(z, \tau)$ の構成に依拠している。この構成は、ベルジェロン・シャロワ・ガルシア（Bergeron-Charollois-Garcia）およびクドラ・ミルソン（Kudla-Millson）のアイデアを組み合わせ、数学的・クイル（Mathai-Quillen）形式およびワイル表現（Weil representation）を利用している。

1. 幾何学的設定： 著者は、モジュラー曲線のボーレル・セア（Borel-Serre）コンパクト化 $Y_1(N)^{BS}$ を考える。ホモロジー $H_1(Y_1(N); \mathbb{C})$ は、スティーブンス（Stevens）に従い、閉じたモジュラーキャップ $C(C)$ の空間と、次数0のモジュラー記号 $MS_0(\mathbb{C})$ の直和へと分解される。
2. シータ・リフト： 写像 $E: H_1(Y_1(N); \mathbb{C}) \to M_2(\Gamma_1(N))$ は、微分形式 $E(z, \tau)$ を1次サイクル上で積分することによって定義される。この形式は、$2 \times 2$ 行列の格子余剰 $L_{1,0}$ に関連するシータ級数の押し出し（pushforward）を通じて構成される。
3. 明示的な評価：
   • モジュラーキャップ： 尖点 $r$ における閉じたモジュラーキャップ $C_r$ 上の積分は、境界における形式の定数項を解析することによって計算される。
   • モジュラー記号： 単元的な記号（unimodular symbols）上の積分は、ポアソン和公式およびシータ級数の測地線への制限を用いて計算される。
   • 双曲サイクル： スティーブンスの連分数アルゴリズムを用いて、双曲サイクル $Z_\gamma$ をモジュラーキャップと単元的な記号の線形結合へと分解する。その後、積分は項別に評価される。
4. スペクトル解析： シータ・リフトの像は、コホモロジーのスペクトル分解を用いて分析され、リフトを $s=1$ で非消滅するL値を持つニューフォームおよびアイゼンシュタイン級数に関連付ける。

主要な貢献および結果

• ホモロジー生成元上の評価（定理1.4）：

  • 閉じたモジュラーキャップ $C_r$ （ここで $r = \gamma \infty$）上のシータ・リフトの積分は、ウェイト2のアイゼンシュタイン級数 $H^{(2)}_{d, -c}(\tau)$ を与える。
  • 単元的な記号 $M = \gamma\{0, \infty\}$ 上の積分は、2つのウェイト1のアイゼンシュタイン級数の積、具体的には $-G^{(1)}_d(\tau)G^{(1)}_c(\tau)$ を与える。

• 生成集合とリの結果（定理1.2, 1.3, および3.15）：

  • シータ・リフトの像 $\text{Im}(E)$ は、ウェイト2のアイゼンシュタイン級数 $H^{(2)}$ が張る部分空間、およびランク0のニューフォームの空間 $S^{new}_{2, rk=0}$ を含む。$N$ が素数のとき、この包含関係は等号となる。
  • 双曲サイクル $Z_\gamma$ 上でリフトを評価することにより、著者はリの結果を回収する。すなわち、$S^{new}_{2, rk=0}$ はヒルベルト・アイゼンシュタイン級数 $E^{(1)}_{1, f_\gamma}(\tau, \tau)$ の対角制限によって生成される。
  • 本論文は、$\text{Im}(E)$ がウェイト2のアイゼンシュタイン級数とウェイト1のアイゼンシュタイン級数の積（$H^{(1,1)}$）のスペン（span）に含まれることを確立しており、これによりボリスフとガネルによって記述された生成集合に対する幾何学的な説明を提供している。

• アイゼンシュタイン級数の間の関係（定理1.6 および 4.10）：

  • ボーレル・セアコンパクト化における、境界が3つの単元的な記号と3つのモジュラーキャップからなる双曲三角形 $T$ を考えることで、著者は境界がホモロジー的に零（$\partial T = 0$）であることを利用する。
  • これにより、以下の関係式が得られる：
    $$G^{(1)}_a G^{(1)}_b + G^{(1)}_b G^{(1)}_c + G^{(1)}_c G^{(1)}_a = G^{(2)}_a + G^{(2)}_b + G^{(2)}_c$$
    ここで、$a, b, c$ は $a+b+c \equiv 0 \pmod N$ かつ $N$ を法として非ゼロを満たす整数である。これは、ボリスフとガネルによって以前に確立された関係式の幾何学的な証明を提供する。

意義
本論文は、以下の2つの異なるモジュラー形式の空間の記述を接続する、統一された幾何学的枠組みを提供していると主張している：

1. ボリスフ・ガネルの関係（ウェイト1のアイゼンシュタイン級数の積）とリの結果（ヒルベルト・アイゼンシュタイン級数の対角制限）を、単一の幾何学的シータ・リフトを異なるホモロジー生成元上で評価することの自然な帰結として説明している。
2. ウェイト1およびウェイト2のアイゼンシュタイン級数の間の特定の線形関係を、純粋に解析的な操作ではなく、モジュラー曲線のトポロジーとシータ・リフトの性質から直接導かれるものとして、幾何学的な証明を提供している。
3. モジュラー記号の理論におけるボーレル・セアコンパクト化とモジュラーキャップの役割を明確にし、境界項（キャップ）がどのようにアイゼンシュタイン級数に対応し、内部項（記号）がどのように低ウェイトの級数の積に対応するかを示している。

著者は、生成集合に関する結果は既存の文献（特に [BG01] および [Li17]）と類似しているものの、その貢献は、シータ対応による導出およびフーリエ係数と積分の明示的な幾何学的解釈にあると述べている。