An inverse source problem for the Monge--Ampere equation from large boundary data

Résumé Technique : Un problème de source inverse pour l'équation de Monge–Ampère à partir de données de bord de grande amplitude

Énoncé du Problème
Cet article traite du problème de la source inverse pour l'équation de Monge–Ampère sur un domaine borné, lisse et uniformément convexe $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$). L'équation est donnée par :
$$\det D^2 u = f(x) \quad \text{dans } \Omega,$$
où le terme source $f$ est une fonction lisse et positive. L'objectif est de déterminer si la source $f$ est déterminée de manière unique par la carte de Dirichlet-vers-Neumann (DN) $\Lambda_f$, qui associe une donnée de bord $g$ à la dérivée normale de l'unique solution strictement convexe $u_g$ :
$$\Lambda_f(g) = \partial_\nu u_g|_{\partial\Omega}.$$
Plus précisément, les auteurs étudient si $\Lambda_{f_1} = \Lambda_{f_2}$ implique $f_1 = f_2$ dans la classe des sources lisses et positives.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche asymptotique à « grandes données », distincte de la méthode standard de linéarisation d'ordre supérieur utilisée pour les équations semi-linéaires. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Données de Bord Cylindriques de Grande Amplitude : Au lieu de linéariser autour d'une solution nulle ou de petite amplitude, les auteurs prescrivent une famille de valeurs de bord de grande amplitude paramétrées par $t \gg 1$. Pour une direction $\omega \in S^{n-1}$ fixée, la donnée de bord est définie par :
   $$g_{t,\omega} = t \phi_\omega|_{\partial\Omega}, \quad \text{où } \phi_\omega(x) = \frac{1}{2}|P_{\omega^\perp} x|^2.$$
   Le profil $\phi_\omega$ est strictement convexe dans les directions transverses à $\omega$, mais dégénéré (linéaire) dans la direction $\omega$.

2. Expansion Asymptotique : La solution $u_{t,\omega}$ correspondant aux grandes données $g_{t,\omega}$ est analysée via une expansion asymptotique :
   $$u_{t,\omega} = t\phi_\omega + t^{1-n}w_\omega + r_{t,\omega},$$
   où $w_\omega$ est un terme de « correction chordale ». Le terme principal $t\phi_\omega$ capture la convexité transverse, tandis que la première correction $t^{1-n}w_\omega$ rend compte de la convexité longitudinale manquante nécessaire pour satisfaire l'équation de Monge–Ampère avec la source $f$.

3. Réduction à un Problème 1D : Le terme de correction $w_\omega$ est montré comme satisfaisant un problème de Dirichlet unidimensionnel le long des cordes de $\Omega$. Plus précisément, pour une corde paramétrée par $s$ (où $x = y + s\omega$), $w_\omega$ satisfait :
   $$\partial_s^2 w_\omega(y, s) = f(y + s\omega), \quad w_\omega(y, s_\pm(y)) = 0,$$
   où $s_\pm(y)$ sont les extrémités de la corde.

4. Analyse des Mesures de Bord : En analysant le comportement asymptotique de la dérivée normale $\partial_\nu u_{t,\omega}$ sur la partie non-glissante du bord, les auteurs montrent que la carte DN détermine les valeurs de bord de $\partial_\nu w_\omega$. En utilisant le théorème fondamental de l'analyse sur l'équation chordale, ces dérivées de bord sont directement liées à l'intégrale de ligne de la source $f$ le long de la corde :
   $$\int_{s_-(y)}^{s_+(y)} f(y + s\omega) \, ds = \partial_s w_\omega(y, s_+(y)) - \partial_s w_\omega(y, s_-(y)).$$

5. Injectivité de la Transformée des Rayons X : L'égalité des cartes DN pour la famille de grandes données implique l'égalité des transformées des rayons X euclidiens (transformée de Radon restreinte aux droites) des deux sources $f_1$ et $f_2$. Les auteurs utilisent le théorème de la coupe de Fourier standard pour conclure que si les transformées des rayons X sont identiques, les sources doivent être identiques.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème d'Unicité (Théorème 1.1) : Le résultat principal établit que si $\Lambda_{f_1}(g) = \Lambda_{f_2}(g)$ pour toutes les données de bord lisses $g$, alors $f_1 = f_2$. Crucialement, la preuve démontre que l'unicité est maintenue même si les cartes DN ne sont connues que sur la famille restreinte de grandes données cylindriques $g_{t,\omega}$.
• Rigueur Asymptotique (Théorème 3.3) : L'article fournit des estimations $L^\infty$ rigoureuses pour la différence entre la solution réelle et l'ansatz asymptotique $t\phi_\omega + t^{1-n}w_\omega$. Il prouve que l'erreur est de l'ordre de $O(t^{1-2n})$ dans le volume et de $O(t^{1-n-n/2})$ pour la dérivée normale sur des sous-ensemments compacts de la partie non-glissante.
• Gestion des Points de Glissement : Une contribution technique significative est l'analyse du comportement du terme de correction chordale $w_\omega$ près des points de « glissement » (où la corde est tangente au bord). Les auteurs prouvent qu'en dépit de la singularité de la paramétrisation des extrémités en ces points, la fonction $w_\omega$ s'étend de manière lisse sur l'ensemble du domaine $\Omega$, garantissant la validité globale de l'expansion asymptotique.
• Généralité Dimensionnelle : Contrairement aux travaux précédents restreints à deux dimensions (ex: [29]), cette méthode est valable pour toutes les dimensions $n \ge 2$.

Signification et Revendications

L'article affirme fournir un nouveau mécanisme pour résoudre les problèmes de source inverse pour les équations pleinement non linéaires de type Monge–Ampère. La signification réside dans :

1. Changement de Méthodologie : S'éloigner de la linéarisation autour de petites solutions (ce qui conduit à des coefficients linéarisés dépendant de l'hessien de la solution de fond) vers un régime asymptotique de grandes données. Cela permet d'éviter les problèmes de dégénérescence souvent associés à la linéarisation autour de zéro ou de petites solutions dans les problèmes quasilinéaires.
2. Réduction Géométrique Directe : La méthode réduit directement le problème inverse non linéaire à l'injectivité de la transformée des rayons X euclidienne via la géométrie des cordes, évitant ainsi de devoir récupérer des coefficients intermédiaires.
3. Complétude : Le résultat confirme que la carte DN complète n'est pas strictement nécessaire pour l'unicité ; une famille spécifique, motivée physiquement, de mesures de bord de grande amplitude suffit à récupérer la source de manière unique.

Les auteurs notent que leur approche est distincte de la méthode de [29], qui linéarise autour de solutions non nulles et récupère la matrice hessienne avant de prendre le déterminant. En revanche, l'approche par grand paramètre de cet article extrait directement les intégrales de la source à partir du terme de correction de premier ordre.