An inverse source problem for the Monge--Ampere equation from large boundary data

技術的要約：大きな境界データを用いたモンジュ・アンペール方程式の逆ソース問題

問題設定
本論文は、有界で滑らかかつ一様に凸な領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) におけるモンジュ・アンペール方程式の逆ソース問題を扱う。方程式は次のように与えられる：
$$\det D^2 u = f(x) \quad \text{in } \Omega,$$
ここで、ソース項 $f$ は正の滑らかな関数である。目的は、ディリクレ・ト・ノイマン（DN）写像 $\Lambda_f$ によって、ソース $f$ が一意に決定されるかどうかを判定することである。ここで $\Lambda_f$ は、境界データ $g$ を、一意な厳密凸解 $u_g$ の法線微分へと写す写像である：
$$\Lambda_f(g) = \partial_\nu u_g|_{\partial\Omega}.$$
具体的には、滑らかな正のソースのクラスにおいて、$\Lambda_{f_1} = \Lambda_{f_2}$ ならば $f_1 = f_2$ が成り立つかどうかを調査している。

手法
著者らは、半線形方程式で一般的に用いられる高次線形化手法とは異なる、「大きなデータ」のアスンプトティック（漸近的）アプローチを採用している。その手法は以下のステップで進行する：

1. 大きな円筒状境界データ: ゼロまたは微小な解の周りで摂動を加えるのではなく、著者らは $t \gg 1$ でパラメータ化された一族の大きな境界値を規定する。固定された方向 $\omega \in S^{n-1}$ に対して、境界データは次のように定義される：
   $$g_{t,\omega} = t \phi_\omega|_{\partial\Omega}, \quad \text{ただし } \phi_\omega(x) = \frac{1}{2}|P_{\omega^\perp} x|^2.$$
   プロファイル $\phi_\omega$ は、$\omega$ に直交する方向には厳密に凸であるが、$\omega$ 方向には退化（線形）している。

2. 漸近展開: 大きなデータ $g_{t,\omega}$ に対応する解 $u_{t,\omega}$ を、以下の漸近展開を用いて分析する：
   $$u_{t,\omega} = t\phi_\omega + t^{1-n}w_\omega + r_{t,\omega},$$
   ここで $w_\omega$ は「コードワイズ（弦方向）補正」項である。主要項 $t\phi_\omega$ は横方向の凸性を捉え、第一補正項 $t^{1-n}w_\omega$ は、モンジュ・アンペール方程式とソース $f$ を満たすために必要な、欠落している縦方向の凸性を補う役割を果たす。

3. 1次元問題への還元: 補正項 $w_\omega$ は、$\omega$ に平行な $\Omega$ の弦（chord）に沿った1次元ディリクレ問題に従うことが示される。具体的には、$x = y + s\omega$ とパラメータ化された弦において、$w_\omega$ は次を満たす：
   $$\partial_s^2 w_\omega(y, s) = f(y + s\omega), \quad w_\omega(y, s_\pm(y)) = 0,$$
   ここで $s_\pm(y)$ は弦の端点である。

4. 境界測定の分析: 非グレーシング（非接線）境界における $\partial_\nu u_{t,\omega}$ の漸近挙動を分析することで、著者らは $\partial_\nu w_\omega$ の境界値がDN写像によって決定されることを示す。弦方向の方程式に対する微積分基本定理を用いることで、これらの境界微分はソース $f$ の弦に沿った線積分に直接関連付けられる：
   $$\int_{s_-(y)}^{s_+(y)} f(y + s\omega) \, ds = \partial_s w_\omega(y, s_+(y)) - \partial_s w_\omega(y, s_-(y)).$$

5. X線変換の単射性: 大きなデータの一族 $g_{t,\omega}$ に関するDN写像の等価性は、二つのソース $f_1$ と $f_2$ のユークリッドX線変換（直線に制限されたラドン変換）の等価性を意味する。著者らは、標準的なフーリエ・スライス定理を利用して、X線変換が等しければソースも同一であることを結論付けている。

主要な貢献と結果

• 一意性定理 (Theorem 1.1): 主要な結果は、もし全ての滑らかな境界データ $g$ に対して $\Lambda_{f_1}(g) = \Lambda_{f_2}(g)$ ならば、$f_1 = f_2$ であることを確立している。極めて重要なことに、この証明は、DN写像が制限された大きな円筒状境界値 $g_{t,\omega}$ の一族に対して等しい場合であっても、一意性が保持されることを示している。
• 漸近的厳密性 (Theorem 3.3): 本論文は、真の解と漸近的アンサッツ $t\phi_\omega + t^{1-n}w_\omega$ との間の厳密な $L^\infty$ 推定値を提供している。誤差がバルク内では $O(t^{1-2n})$ であり、非グレーシング境界のコンパクト部分集合における法線微分については $O(t^{1-n-n/2})$ であることを証明している。
• グレーシング点の取り扱い: 重要な技術的貢献は、「グレーシング点」（弦が境界に接する点）付近におけるコードワイズ補正 $w_\omega$ の挙動の分析である。著者らは、端点のパラメータ化がこれらの点において特異になるにもかかわらず、$w_\omega$ が領域 $\Omega$ 全体に滑らかに拡張できることを証明し、漸近展開の全域的な妥当性を保証している。
• 次元の一般性: 2次元に限定されていた従来の研究（例：[29]）とは異なり、本手法は全ての次元 $n \ge 2$ に対して有効である。

意義と主張
本論文は、モンジュ・アンペール型の完全非線形方程式に対する逆ソース問題を解決するための新しいメカニズムを提供すると主張している。その意義は以下の点にある：

1. 手法の転換: 小さな解の周りでの線形化（これは線形化された係数が背景となる解のヘッセ行列に依存することにつながる）から、大きなデータのアスンプトティック・レジーム（漸近領域）への移行である。これにより、準線形問題においてゼロや小さな解の周りで線形化する際にしばしば発生する退化の問題を回避している。
2. 直接的な幾何学的還元: この手法は、中間的な係数を回収する必要なく、非線形逆問題を弦の幾何学を介して直接、ユークリッドX線変換の単射性へと還元する。
3. 完全性: 結果として、一意性を得るために完全なDN写像は必ずしも必要ではなく、特定の、物理的に動機付けられた大きな境界測定の一族があれば、ソースを一意に復元するのに十分であることが確認された。

著者らは、自身のアプローチが、非ゼロの解の周りで線形化し、行列式を取る前にヘッセ行列を復元する[29]の手法とは異なることを指摘している。対照的に、本論文の大きなパラメータを用いるアプローチは、第一次の補正項からソースの積分を直接抽出するものである。