🔬 condensed matter

Relaxation dynamics and long-time tails explain shear-induced diffusion of soft athermal particles near jamming

यह अध्ययन संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित करता है कि जैमिंग के निकट सॉफ्ट एथर्मल कणों में शियर-प्रेरित विसरण (shear-induced diffusion), विश्रांति गतिकी (relaxation dynamics) के क्रिटिकल स्केलिंग द्वारा नियंत्रित होता है, जहाँ दो आयामों में विसरण गुणांक वेग ऑटो-कोरिलेशन (velocity auto-correlations) में लॉन्ग-टाइम टेल्स (long-time tails) के कारण तब अपसारी (diverge) हो जाता है जब प्रणाली जैमिंग से ऊपर होती है और शियर दर पर्याप्त रूप से कम होती है।

मूल लेखक: Kuniyasu Saitoh, Takeshi Kawasaki

प्रकाशित 2026-03-26

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Kuniyasu Saitoh, Takeshi Kawasaki

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि गुब्बारों से भरा एक भीड़भाड़ वाला डांस फ्लोर है, जो नरम और स्पंजी गुब्बारों से भरा हुआ है। वैज्ञानिक इसे "सॉफ्ट एथर्मल पार्टिकल्स" (soft athermal particles) का एक सिस्टम कहते हैं। ये गर्म गुब्बारे नहीं हैं (कोई ऊष्मीय ऊर्जा नहीं है), बल्कि इन्हें एक विशाल हाथ द्वारा एक विशिष्ट दिशा में फर्श को हिलाकर धकेला जा रहा है—इसे शीयर (shear) कहते हैं।

सैतो और कावासाकी का यह पेपर एक जासूसी कहानी की तरह एक रहस्य को सुलझाने की कोशिश कर रहा है: जब फर्श को हिलाया जाता है, तो ये गुब्बारे कैसे चलते हैं और कैसे आपस में मिलते (mix होते) हैं?

यहाँ उनकी खोज का विवरण दिया गया है, जिसमें रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग किया गया है:

1. परिवेश: द "जैमिंग" पार्टी (The "Jamming" Party)

कल्पना कीजिए कि डांस फ्लोर पर भीड़ बढ़ती जा रही है।

जैमिंग पॉइंट से नीचे: कमरा भीड़भाड़ वाला है, लेकिन अभी भी हिलने-डुलने के लिए पर्याप्त जगह है। यदि आप फर्श को धक्का देते हैं, तो गुब्बारे एक-दूसरे के पास से आसानी से फिसल जाते हैं। यह एक गाढ़े तरल (जैसे शहद) की तरह है।
जैमिंग पॉइंट से ऊपर: कमरा इतना सघन रूप से भरा हुआ है कि गुब्बारे एक-दूसरे को छू रहे हैं और आपस में लॉक हो गए हैं। यह एक ठोस ब्लॉक की तरह है। उन्हें हिलाने के लिए, आपको इस लॉक को तोड़ने के लिए पर्याप्त जोर से धक्का देना होगा। यह फोम या गीली रेत की एक ठोस दीवार की तरह है।

वैज्ञानिक उस किनारे पर रुचि रखते थे जहाँ कमरा "हिलने-डुलने योग्य" से "फंस जाने वाले" अवस्था में बदल जाता है।

2. रहस्य: वे कितनी तेजी से मिक्स होते हैं?

जब आप मिश्रित मेवों (mixed nuts) के एक जार को हिलाते हैं, तो बड़े और छोटे मेवे अंततः अलग हो जाते हैं या मिल जाते हैं। भौतिकी में, हम इस "मिक्सिंग स्पीड" को डिफ्यूजन कोएफिशिएंट (Diffusion Coefficient) नामक चीज़ से मापते हैं।

पिछले अध्ययनों को पता था कि जैसे-जैसे आप "जैमिंग" बिंदु के करीब पहुँचते हैं, मिक्सिंग की गति एक बहुत ही विशिष्ट, अनुमानित तरीके से बदलती है (एक गणितीय नियम की तरह)। लेकिन क्यों बदलती है? लेखकों ने इसके अंदर की कार्यप्रणाली को समझना चाहा।

3. उपकरण: "ग्रीन-कुबो" रेसिपी (The "Green-Kubo" Recipe)

मिक्सिंग को समझने के लिए, लेखकों ने ग्रीन-कुबो (GK) फॉर्मूला नामक एक प्रसिद्ध भौतिकी रेसिपी का उपयोग किया। इस फॉर्मूले को मिक्सिंग की गति की गणना करने के लिए दो-भाग वाली रेसिपी के रूप में सोचें:

वे कितनी तेजी से झूम (jiggle) रहे हैं? (नृत्य की गति)।
वह झूमना (jiggle) कितनी देर तक चलता है? (नृत्य की स्मृति/मेमोरी)।

यदि आप जानते हैं कि वे कितनी तेजी से चलते हैं और वे अपना इरादा बदलने से पहले कितनी देर तक उस दिशा में चलते रहते हैं, तो आप भविष्यवाणी कर सकते हैं कि वे कितनी दूर तक जाएंगे।

4. खोज: दो अलग-अलग दुनिया

लेखकों ने पाया कि "नृत्य" अलग-अलग व्यवहार करता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कमरा जैम (jammed) है या नहीं।

परिदृश्य A: "स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल" डांस (जैमिंग से नीचे या तेज शेकिंग)

जब कमरा बहुत अधिक भीड़भाड़ वाला नहीं होता, या जब आप फर्श को बहुत तेजी से हिलाते हैं, तो गुब्बारे एक अनुमानित पैटर्न में चलते हैं।

रूपक: कल्पना कीजिए कि एक डांसर जो तेजी से घूमना शुरू करता है लेकिन धीरे-धीरे एक सुचारू, अनुमानित वक्र (curve) में धीमा हो जाता है जब तक कि वह रुक न जाए।
विज्ञान: उनकी गति की "स्मृति" (कि वे कितनी देर तक चलते रहते हैं) जल्दी खत्म हो जाती है। यह एक "स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल" वक्र का अनुसरण करती है। यह एक सामान्य, सुव्यवस्थित नृत्य है जहाँ गणित पूरी तरह से काम करता है।

परिदृश्य B: "लॉन्ग-टाइम टेल" (जैमिंग के ऊपर + धीमी शेकिंग)

यह सबसे बड़ा आश्चर्य है। जब कमरा बहुत सघन होता (जैम होता) है और आप फर्श को बहुत धीरे-धीरे हिलाते हैं, तो व्यवहार पूरी तरह से बदल जाता है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि एक डांसर घूमना शुरू करता है, थोड़ा धीमा होता है, लेकिन फिर... बहुत, बहुत लंबे समय तक डोलता रहता है। वह सुचारू रूप से नहीं रुकता; वह लंबे समय तक डोलता, लड़खड़ाता और बहता रहता है।
विज्ञान: इसे "लॉन्ग-टाइम टेल" (Long-Time Tail) कहा जाता है। गुब्बारे अपनी गति को अविश्वसनीय रूप से लंबे समय तक याद रखते हैं। ऐसा नहीं होता कि उनकी "स्मृति" जल्दी फीकी पड़ जाती है; यह एक भूत की तरह लंबे समय तक बनी रहती है।

5. बड़ा परिणाम: अनंत मिश्रण (The Infinite Mix)

यहाँ मुख्य बात है। इस "लॉन्ग-टाइम टेल" के कारण, जैम किए गए, धीमी गति वाले परिदृश्य में, ग्रीन-कुबो रेसिपी का गणित टूट जाता है।

यदि आप उस पूरे समय को जोड़ने का प्रयास करते हैं जब गुब्बारे चलते रहते हैं, तो वह संख्या कभी समाप्त नहीं होती। यह अनंत (infinity) तक जाती है।
इसका अर्थ क्या है: एक सैद्धांतिक रूप से अनंत कमरे में, गुब्बारे कभी भी मिलना बंद नहीं करेंगे। वे हमेशा के लिए तैरते रहेंगे क्योंकि "जैम" एक ऐसी श्रृंखला प्रतिक्रिया (chain reaction) बनाता है जहाँ एक गुब्बारे की गति दूसरे को ट्रिगर करती है, जो दूसरे को ट्रिगर करती है, जिससे एक ऐसी लहर पैदा होती है जो अनंत काल तक चलती है।

6. "स्केलिंग" संबंध

लेखकों ने एक सुंदर गणितीय सामंजस्य भी पाया। उन्होंने पाया कि "झूमने की गति" (jiggling speed), "स्मृति समय" (memory time), और "मिक्सिंग की गति" (mixing speed) सभी एक ही नियमों के सेट (जिसे क्रिटिकल स्केलिंग कहा जाता है) द्वारा जुड़े हुए हैं।

यह एक लहर के आकार, हवा की गति और लहर की ऊंचाई के बीच संबंध खोजने जैसा है, जो एक ही गुप्त कोड द्वारा जुड़े हुए हैं।
उन्होंने एक नया समीकरण (एक "स्केलिंग रिलेशन") भी निकाला जो इन सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ता है, यह साबित करते हुए कि उनके अवलोकन केवल यादृच्छिक (random) नहीं हैं; वे भीड़भाड़ वाली प्रणालियों के लिए एक सार्वभौमिक भौतिक नियम का हिस्सा हैं।

सारांश

सरल शब्दों में, यह पेपर बताता है कि जब आप नरम, स्पंजी चीजों को एक साथ दबाते हैं और उन्हें धीरे-धीरे धकेलते हैं, तो वे फंस जाने पर भी रुकते नहीं हैं। इसके बजाय, वे एक "लंबी स्मृति" विकसित करते हैं, जहाँ एक छोटा सा धक्का एक ऐसी लहर पैदा करता है जो अनंत काल तक चलती है। यह समझाता है कि क्यों ये सामग्रियां उस बिंदु के पास अजीब और अप्रत्याशित तरीकों से मिक्स होती हैं जहाँ वे तरल से ठोस में बदल जाती हैं।

यह लोगों की भीड़ के गलियारे से गुजरने (सुचारू, त्वरित ठहराव) और एक लिफ्ट में ठुंसी हुई भीड़ (जहाँ एक व्यक्ति की हलचल एक ऐसी श्रृंखला प्रतिक्रिया पैदा करती है जो पूरे समूह में लंबे समय तक लहर की तरह चलती है) के बीच का अंतर है।

यहाँ सैतोह और कावासाकी के प्रीप्रिंट "Relaxation dynamics and long-time tails explain shear-induced diffusion of soft athermal particles near jamming" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र सॉफ्ट एथर्मल कणों (जैसे फोम, इमल्शन, ग्रेन्युलर सामग्री) के परिवहन गुणों (transport properties) को संबोधित करता है जो जैमिंग ट्रांजिशन ( $\phi_J$ ) के निकट होते हैं। जबकि इन प्रणालियों के यांत्रिक और रियोलॉजिकल गुणों (जैसे श्यानता विचलन और यील्ड स्ट्रेस) को क्रिटिकल स्केलिंग के माध्यम से अच्छी तरह से समझा जा सकता है, शियर-प्रेरित विसरण ( $D$ ) को नियंत्रित करने वाले तंत्र कम स्पष्ट हैं।

पिछले अध्ययन मुख्य रूप से $D$ को स्थानिक लंबाई पैमानों (spatial length scales), जैसे कि सामूहिक गतियों के आकार ( $\xi$ ) या सिस्टम आकार ( $L$ ) से जोड़ते रहे हैं, जहाँ $D/\dot{\gamma} \propto L^\beta$ जैसे परिमित-आकार प्रभाव (finite-size effects) देखे गए हैं। हालाँकि, एथर्मल प्रणालियों के लिए ग्रीन-कुबो (GK) फॉर्मलिज्म के संदर्भ में, रिलैक्सेशन डायनेमिक्स और वेलोसिटी ऑटो-कोरिलेशन फंक्शन की भूमिका को व्यवस्थित रूप से नहीं खोजा गया है। विशेष रूप से, यह अज्ञात है कि शेयर्ड अमोरफस सॉलिड्स के परिमित-आकार सिमुलेशन में देखा गया $D$ का विचलन, शास्त्रीय तरल पदार्थों (classical fluids) में देखी गई घटनाओं के समान, वेलोसिटी कोरिलेशन में 'लॉन्ग-टाइम टेल्स' (long-time tails) का परिणाम है या नहीं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक सरल शियर फ्लो के तहत द्वि-आयामी (two-dimensional) सॉफ्ट एथर्मल कणों के मॉलिक्यूलर डायनेमिक्स (MD) सिमुलेशन का उपयोग करते हैं।

सिस्टम सेटअप:
- कण: छोटे ( $d_0$ ) और बड़े ( $1.4d_0$ ) कणों का एक बाइनरी मिश्रण, जिसमें कुल संख्या $N=8192$ है (परिमित-आकार जाँच के साथ)।
- इंटरेक्शन: रिपल्सिव इलास्टिक फोर्सेस ( $f_{ij}^e = k\delta_{ij}n_{ij}$ ) और ओवरडैम्प्ड डायनेमिक्स एक डैम्पिंग फोर्स ( $f_i^d = -\zeta[v_i - u(r_i)]$ ) के साथ।
- स्थितियाँ: सिमुलेशन पैकिंग फ्रैक्शन्स $\phi \in [0.8, 0.9]$ को जैमिंग पॉइंट $\phi_J \approx 0.8433$ के आसपास और शियर रेट $\dot{\gamma}t_0 \in [10^{-7}, 10^{-2}]$ को कवर करते हैं।
- बाउंड्री: शियर लागू करने के लिए लीज़-एडवर्ड्स बाउंड्री कंडीशंस।
विश्लेषणात्मक ढांचा (Analytical Framework):
- ग्रीन-कुबो (GK) संबंध: डिफ्यूजन गुणांक की गणना वेलोसिटी ऑटो-कोरिलेशन फंक्शन (VACF) के माध्यम से की जाती है:
  $D = \langle v_y^2 \rangle \int_0^\infty C(\tau) d\tau$
  जहाँ $C(\tau)$ एक नॉर्मलाइज्ड ट्रांसवर्स वेलोसिटी ऑटो-कोरिलेशन है।
- स्केलिंग विश्लेषण: लेखक क्रिटिकल एक्सपोनेंट्स ( $\nu, \lambda, \psi, \epsilon$ ) निकालने के लिए मीन स्क्वेर्ड वेलोसिटी $\langle v_y^2 \rangle$ , रिलैक्सेशन टाइम $\tau^*$ , और डिफ्यूजन गुणांक $D$ पर क्रिटिकल स्केलिंग एंसेट्स (ansatzes) लागू करते हैं।
- फंक्शनल फॉर्म्स: विभिन्न डायनेमिकल रेजीम्स की पहचान करने के लिए VACF का विश्लेषण स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल फंक्शन्स ( $e^{-(\tau/\tau^*)^\alpha}$ ) और पावर-लॉ डिके (power-law decays) का उपयोग करके किया जाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

विसरण को रिलैक्सेशन डायनेमिक्स से जोड़ना: यह शोध पत्र शियर-प्रेरित डिफ्यूजन गुणांक और VACF से निकाले गए रिलैक्सेशन टाइम के बीच एक सीधा मात्रात्मक संबंध स्थापित करता है, जो केवल स्थानिक स्केलिंग तर्कों से आगे जाता है।
लॉन्ग-टाइम टेल्स की पहचान: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि जैमिंग के ऊपर क्वासि-स्टैटिक रेजीम ( $\phi > \phi_J$ और बहुत कम $\dot{\gamma}$ ) में, VACF एक स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल डिके के बजाय एक लॉन्ग-टाइम टेल (पावर-लॉ डिके) प्रदर्शित करता है।
विचलन की व्याख्या: वे दिखाते हैं कि यह लॉन्ग-टाइम टेल थर्मोडायनामिक लिमिट ( $L \to \infty$ ) में GK फॉर्मूला के समय इंटीग्रल को डायवर्ज (diverge) कर देता है, जो शेयर्ड अमोरफस सॉलिड्स के पूर्व में देखे गए परिमित-आकार स्केलिंग को एक डायनेमिकल स्पष्टीकरण प्रदान करता है।
अनुभवजन्य स्केलिंग संबंध (Empirical Scaling Relation): यह अध्ययन डिफ्यूजन, वेलोसिटी फ्लक्चुएशन और रिलैक्सेशन टाइम के क्रिटिकल एक्सपोनेंट्स को जोड़ने वाला एक नया स्केलिंग संबंध व्युत्पन्न करता है:
$\nu + \psi - \epsilon = \lambda$

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. मीन स्क्वेर्ड वेलोसिटी ( $\langle v_y^2 \rangle$ ) की क्रिटिकल स्केलिंग

मीन ट्रांसवर्स वेलोसिटी एक क्रिटिकल स्केलिंग लॉ का पालन करती है: $\langle v_y^2 \rangle \sim |\Delta\phi|^\psi \mathcal{F}(\dot{\gamma}/|\Delta\phi|^\lambda)$ ।
जैमिंग के नीचे ( $\phi < \phi_J$ ): सिस्टम न्यूटोनियन है; $\langle v_y^2 \rangle \propto \dot{\gamma}^2$ (स्थिर श्यानता के अनुरूप)।
जैमिंग के ऊपर ( $\phi > \phi_J$ ): क्वासि-स्टैटिक लिमिट में, $\langle v_y^2 \rangle \propto \dot{\gamma}$ (यील्ड स्ट्रेस व्यवहार के अनुरूप)।
एक्सपोनेंट्स: $\psi \approx 5.39$ और $\lambda \approx 3.87$ ।

B. रिलैक्सेशन टाइम और VACF व्यवहार

VACF $C(\tau)$ और रिलैक्सेशन टाइम $\tau^*$ का व्यवहार रेजीम पर निर्भर करता है:

स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल रेजीम: $\phi < \phi_J$ के लिए या पर्याप्त उच्च $\dot{\gamma}$ के साथ $\phi > \phi_J$ के लिए, $C(\tau) \approx \exp[-(\tau/\tau^*)^\alpha]$ । यहाँ, न्यूटोनियन लिमिट में $\alpha \to 1$ होता है।
$\tau^*$ की क्रिटिकल स्केलिंग: रिलैक्सेशन टाइम $\tau^* \sim |\Delta\phi|^\epsilon \mathcal{G}(\dot{\gamma}/|\Delta\phi|^\lambda)$ के रूप में स्केल करता है जहाँ $\epsilon \approx 2.57$ है।
लॉन्ग-टाइम टेल रेजीम: जैमिंग के ऊपर क्वासि-स्टैटिक रेजीम ( $\phi > \phi_J, \dot{\gamma}t_0 \le 10^{-6}$ ) में, VACF को स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल द्वारा फिट नहीं किया जा सकता है। इसके बजाय, यह एक पावर-लॉ डिके प्रदर्शित करता है:
$C(\tau) \sim (\dot{\gamma}\tau)^{-1}$
यह "लॉन्ग-टाइम टेल" यह संकेत देती है कि $\int_0^\infty C(\tau) d\tau$ का इंटीग्रल डायवर्ज (diverge) हो जाता है।

C. रिड्यूस्ड GK फॉर्मूला और स्केलिंग संबंध

जब $C(\tau)$ एक स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल होता है, तो GK फॉर्मूला इस प्रकार होता है:
$D = \frac{\tau^* \langle v_y^2 \rangle}{\alpha} \Gamma\left(\frac{1}{\alpha}\right)$
लेखक इस संबंध को संख्यात्मक रूप से सत्यापित करते हैं, जो MSD से गणना किए गए $D$ और रिड्यूस्ड GK फॉर्मूला के बीच उत्कृष्ट सहमति दिखाते हैं।
$D, \langle v_y^2 \rangle,$ और $\tau^*$ के क्रिटिकल स्केलिंग को इस रिड्यूस्ड फॉर्मूला में प्रतिस्थापित करके, वे एक स्केलिंग संबंध व्युत्पन्न करते हैं:
$\nu + \psi - \epsilon = \lambda$
अपने अनुमानित मानों ( $\nu \approx 0.939, \psi \approx 5.39, \epsilon \approx 2.57, \lambda \approx 3.87$ ) का उपयोग करते हुए, संबंध बना रहता है ( $3.76 \approx 3.87$ ), जो क्रिटिकल एक्सपोनेंट्स की आंतरिक निरंतरता (internal consistency) की पुष्टि करता है।

D. डिफ्यूजन गुणांक का विचलन (Divergence of Diffusion Coefficient)

जैमिंग के ऊपर क्वासि-स्टैटिक रेजीम में, पावर-लॉ डिके $C(\tau) \sim \tau^{-1}$ के कारण GK इंटीग्रल का लॉगरिदमिक डायवर्जेंस (logarithmic divergence) होता है।
यह समझाता है कि क्यों संख्यात्मक सिमुलेशन दिखाते हैं कि $D/\dot{\gamma} \propto L^\beta$ (जहाँ $\beta \ge 1$ ): डिफ्यूजन गुणांक थर्मोडायनामिक लिमिट में लॉन्ग-टाइम टेल के कारण डायवर्ज होता है, जो 2D क्लासिकल फ्लूइड्स में GK संबंध के टूटने के समान एक घटना है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक एकीकरण (Theoretical Unification): यह कार्य स्थानिक स्केलिंग (लंबाई पैमाने) को टेम्पोरल स्केलिंग (रिलैक्सेशन डायनेमिक्स) से जोड़कर शियर-प्रेरित विसरण की समझ को एकीकृत करता है। यह प्रदर्शित करता है कि पूर्व अध्ययनों में देखे गए "परिमित-आकार प्रभाव" वास्तव में वेलोसिटी कोरिलेशन में लॉन्ग-टाइम टेल्स के प्रकटीकरण हैं।
विमीयता निर्भरता (Dimensionality Dependence): निष्कर्ष बताते हैं कि 2D जैम्ड सिस्टम में $D$ का विचलन लॉन्ग-टाइम टेल का प्रत्यक्ष परिणाम है, जैसा कि क्लासिकल फ्लूइड्स में होता है, जबकि 3D सिस्टम में यह विचलन नहीं दिख सकता है (हालिया साहित्य के अनुसार)।
भविष्यवाणी शक्ति (Predictive Power): व्युत्पन्न स्केलिंग संबंध ( $\nu + \psi - \epsilon = \lambda$ ) भविष्य के सैद्धांतिक मॉडलों और सिमुलेशन के लिए एक कठोर बाधा (constraint) प्रदान करता है।
कार्यप्रणाली संबंधी प्रगति (Methodological Advance): एथर्मल सिस्टम के लिए रिड्यूस्ड GK फॉर्मूला को मान्य करके, यह पेपर वेलोसिटी कोरिलेशन से डिफ्यूजन गुणांक निकालने के लिए एक मजबूत विधि प्रदान करता है, बशर्ते कि सिस्टम सिंगुलर क्वासि-स्टैटिक जैम्ड रेजीम में न हो।

निष्कर्षतः, सैतोह और कावासाकी शियर-प्रेरित विसरण के लिए एक व्यापक डायनेमिक स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जो स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल रिलैक्सेशन से पावर-लॉ लॉन्ग-टाइम टेल्स में संक्रमण को दो-आयामी एथर्मल सिस्टम में डिफ्यूजन गुणांक के विचलन को चलाने वाले महत्वपूर्ण तंत्र के रूप में पहचानते हैं।