Relaxation dynamics and long-time tails explain shear-induced diffusion of soft athermal particles near jamming

Probleemstelling

Zachte, athermische deeltjes (zoals schuim, emulsies, colloïdale suspensies en korrelige materialen) vertonen een "jamming"-overgang op een kritieke vulfractie $\phi_J$. Hoewel de mechanische en reologische eigenschappen van deze systemen nabij jamming goed worden begrepen via kritieke schaling (bijvoorbeeld de divergentie van viscositeit en schaling van vloeigrens), blijft het transportgedrag, en specifiek shear-induced diffusion (diffusie veroorzaakt door schuifstroom), minder helder.

Eerdere studies hebben de diffusiecoëfficiënt $D$ voornamelijk gekoppeld aan ruimtelijke lengteschalen, zoals de grootte van collectieve bewegingen ($\xi$) of de systeemgrootte ($L$). Er was echter weinig bekend over de rol van relaxatiedynamica en tijdsschalen in dit proces. De centrale vraag is hoe de diffusiecoëfficiënt zich gedraagt nabij jamming en of deze kan worden verklaard door de Green-Kubo-relatie, die diffusie koppelt aan de snelheidsautocorrelatie.

Methodologie

De auteurs hebben Moleculaire Dynamica (MD) simulaties uitgevoerd in twee dimensies voor zachte, athermische deeltjes.

• Systeem: Een mengsel van kleine en grote deeltjes (verhouding 1:1.4) met een totaal aantal deeltjes $N = 8192$.
• Interactie: Deeltjes interageren via een afstotende elastische kracht (lineair met overlap) en een dempingskracht (overdamped dynamics).
• Omstandigheden: Het systeem wordt onderworpen aan een eenvoudige schuifstroom ($u(r) = (\dot{\gamma}y, 0)$) onder Lees-Edwards randvoorwaarden.
• Variabelen: De vulfractie $\phi$ varieert rond de jamming-dichtheid ($\phi_J \approx 0.8433$) en de schuifsnelheid $\dot{\gamma}$ wordt variiëerd over een breed bereik ($10^{-7} \leq \dot{\gamma}t_0 \leq 10^{-2}$).
• Analyse: De diffusiecoëfficiënt $D$ wordt berekend via de transversale gemiddelde kwadratische verplaatsing (MSD). Daarnaast wordt de Green-Kubo (GK) relatie toegepast:
  $$D = \langle v_y^2 \rangle \int_0^\infty C(\tau) d\tau$$
  waarbij $\langle v_y^2 \rangle$ de gemiddelde kwadratische transversale snelheid is en $C(\tau)$ de genormaliseerde snelheidsautocorrelatiefunctie.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Kritieke Schaling van Snelheid en Relaxatietijd

De auteurs tonen aan dat zowel de gemiddelde kwadratische snelheid als de relaxatietijd kritieke schaling vertonen nabij jamming:

• Gemiddelde kwadratische snelheid ($\langle v_y^2 \rangle$): Dit volgt een schalingsfunctie die afhankelijk is van de afstand tot jamming ($\Delta\phi = \phi - \phi_J$) en de schuifsnelheid.
  • Onder jamming ($\phi < \phi_J$): Het gedrag is kwadratisch met $\dot{\gamma}$ (Newtoniaans regime), consistent met de divergentie van viscositeit.
  • Boven jamming ($\phi > \phi_J$): In het quasi-statische regime is het gedrag lineair met $\dot{\gamma}$, consistent met de schaling van de vloeigrens ($\sigma_Y$).
• Relaxatietijd ($\tau^*$): De relaxatietijd, afgeleid uit de autocorrelatiefunctie, vertoont ook kritieke schaling, behalve in het quasi-statische regime boven jamming.

2. Gedrag van de Autocorrelatiefunctie en "Long-Time Tails"

Dit is een van de kernbevindingen van het artikel:

• Stretched Exponential: Voor systemen onder jamming, of boven jamming bij voldoende hoge schuifsnelheden, wordt de autocorrelatiefunctie $C(\tau)$ goed beschreven door een "stretched exponential": $C(\tau) = \exp[-(\tau/\tau^*)^\alpha]$. In het Newtoniaanse regime convergeert $\alpha$ naar 1 (exponentiële afname).
• Long-Time Tail: In het quasi-statische regime boven jamming ($\phi > \phi_J$ en zeer lage $\dot{\gamma}$) faalt de stretched exponential fit. In plaats daarvan vertoont $C(\tau)$ een power-law decay (een "long-time tail") van de vorm $C(\tau) \sim (\dot{\gamma}\tau)^{-1}$.

3. Divergentie van de Diffusiecoëfficiënt

Vanwege de long-time tail ($C(\tau) \sim \tau^{-1}$) divergeert de tijdsintegraal in de Green-Kubo-formule in twee dimensies:
$$\int_0^\infty C(\tau) d\tau \to \infty$$
Dit impliceert dat de diffusiecoëfficiënt $D$ divergeert in de thermodynamische limiet ($L \to \infty$) voor systemen boven jamming in het quasi-statische regime. Dit verklaart eerdere waarnemingen van een systeemgrootte-afhankelijkheid ($D/\dot{\gamma} \propto L$) die eerder werden toegeschreven aan ruimtelijk gecorreleerde "flip-events", maar die hier nu worden verklaard door tijdsdynamica.

4. Empirische Schalingsrelatie

De auteurs leiden een nieuwe schalingsrelatie af voor de kritieke exponenten door de Green-Kubo-relatie te combineren met de gevonden schalingen voor $D$, $\langle v_y^2 \rangle$ en $\tau^*$.
De relatie luidt:
$$\nu + \psi - \epsilon = \lambda$$
Waarbij:

• $\nu$: Exponent voor diffusie ($D \sim |\Delta\phi|^{-\nu}$).
• $\psi$: Exponent voor snelheidsfluctuaties.
• $\epsilon$: Exponent voor relaxatietijd.
• $\lambda$: Exponent voor de schuifsnelheidsschaal.
  De numerieke resultaten ($\nu \approx 0.939, \psi \approx 5.39, \epsilon \approx 2.57, \lambda \approx 3.87$) voldoen nauwkeurig aan deze relatie.

Betekenis en Conclusie

Dit artikel verschuift het perspectief op shear-induced diffusion van een puur ruimtelijke benadering (lengteschalen) naar een tijdsdynamische benadering.

1. Verbinding met Klassieke Fluida: De bevinding dat long-time tails leiden tot een divergentie van $D$ in 2D, maar niet noodzakelijk in 3D, plaatst athermische jamming-systemen in hetzelfde theoretische kader als klassieke vloeistoffen en glazen, waar dergelijke divergenties ook bekend zijn.
2. Mechanisme van Divergentie: Het biedt een mechanistische verklaring voor de divergentie van de diffusiecoëfficiënt nabij jamming, die direct gekoppeld is aan het falen van de relaxatie op lange tijdschalen in het quasi-statische regime.
3. Unificatie: De afgeleide schalingsrelatie verenigt de kritieke exponenten van verschillende grootheden (diffusie, snelheid, relaxatie) in één coherent raamwerk.

Samenvattend tonen Saitoh en Kawasaki aan dat de transporteigenschappen van zachte athermische deeltjes nabij jamming fundamenteel worden bepaald door de relaxatiedynamica en het optreden van long-time tails, wat een nieuw inzicht biedt in de fysische oorsprong van diffusie in deze complexe systemen.