Improved local models and new Bell inequalities via Frank-Wolfe algorithms

क्वांटम यांत्रिकी की विचित्र दुनिया में, कण इस तरह से एक-दूसरे से जुड़ सकते हैं जो हमारे रोजमर्रा के कारण और प्रभाव के अनुभव को चुनौती देता है। जब दो कण "एंटैंगल्ड" (entangled) होते हैं, तो एक का मापन तुरंत दूसरे के बारे में कुछ जानकारी प्रकट कर देता है, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों। दशकों से, वैज्ञानिक इस बात पर बहस करते रहे हैं कि क्या यह डरावना संबंध प्रकृति की एक मौलिक विशेषता है या इसे कुछ छिपे हुए, शास्त्रीय नियमों द्वारा समझाया जा सकता है जिन्हें हमने अभी तक नहीं खोजा है। इस प्रश्न ने "बेल इनइक्वलिटीज" (Bell inequalities) के निर्माण की ओर मार्ग प्रशस्त किया, जो इन दोनों संभावनाओं के बीच अंतर करने के लिए एक सख्त परीक्षण के रूप में कार्य करती हैं। यदि परीक्षण पास हो जाता है, तो कण वास्तव में एक गैर-स्थानीय (nonlocal), क्वांटम तरीके से व्यवहार कर रहे होते हैं; यदि वे विफल हो जाते हैं, तो उनके व्यवहार को स्थानीय, शास्त्री적인 भौतिकी द्वारा समझाया जा सकता है। इस क्षेत्र में एक प्रमुख पहेली एक विशिष्ट प्रकार की मिश्रित क्वांटम अवस्था है, जिसे वर्नर स्टेट (Werner state) के रूप में जाना जाता है, जो एक पूर्णतः एंटैंगल्ड जोड़े और यादृच्छिक शोर (random noise) का मिश्रण है। वैज्ञानिक लंबे समय से यह जानना चाहते थे कि सटीक टिपिंग पॉइंट क्या है: शोर कितना जोड़ा जा सकता है इससे पहले कि क्वांटम संबंध इतना कमजोर हो जाए कि उसे शास्त्रीय नियमों द्वारा नकल किया जा सके?

ज़ुसे इंस्टीट्यूट बर्लिन के शोधकर्ताओं की एक टीम ने एक जटिल गणितीय समस्या को हल करने का एक नया, अत्यधिक कुशल तरीका विकसित करके इस टिपिंग पॉइंट के बारे में हमारी समझ को और अधिक सटीक बनाया है। उन्होंने यह निर्धारित करने की चुनौती पर ध्यान केंद्रित किया कि क्या एक विशिष्ट क्वांटम सहसंबंध को एक "स्थानीय मॉडल" (local model) द्वारा समझाया जा सकता है—जो नियमों का एक पूर्व-निर्धारित समूह है जिसका पालन दो लोग बिना संचार किए कर सकते हैं। यदि ऐसा मॉडल मौजूद है, तो सिस्टम स्थानीय है; यदि नहीं, तो वह गैर-स्थानीय है। शोधकर्ताओं ने इस समस्या को एक ज्यामितीय परिदृश्य (geometric landscape) के माध्यम से एक यात्रा के रूप में मानकर इसका समाधान किया। कल्पना कीजिए कि एक जटिल, बहु-कोणीय आकार के बाहर स्थित एक बिंदु से उस आकार तक सबसे छोटा रास्ता खोजने का प्रयास कर रहे हैं। टीम ने एक उन्नत एल्गोरिदम का उपयोग किया, जिसे मूल रूप से सामान्य अनुकूलन (optimization) के लिए डिज़ाइन किया गया था, ताकि वे इस परिदृश्य में पिछले तरीकों की तुलना में बहुत तेज़ी से और अधिक सटीकता से आगे बढ़ सकें। इस स्थान में अपनी गति को परिष्कृत करके, वे बेहतर स्थानीय मॉडल बनाने और गैर-स्थानीयता के लिए कड़े परीक्षण प्राप्त करने में सक्षम हुए।

उनके कार्य का प्राथमिक परिणाम दो-क्यूबिट वर्नर स्टेट्स के ज्ञात ऊपरी और निचले सीमाओं के बीच के अंतराल को काफी कम करना है। वर्षों से, वैज्ञानिक समुदाय एक विस्तृत अंतराल में फंसा हुआ था जहाँ वास्तविक उत्तर अज्ञात था। शोधकर्ताओं के नए गणनाओं ने निचले स्तर (lower bound)—वह बिंदु जहाँ हम आश्वस्त हैं कि सिस्टम अभी भी स्थानीय है—को पहले से कहीं अधिक ऊपर धकेल दिया है, जबकि साथ ही ऊपरी स्तर (upper bound)—वह बिंदु जहाँ हम आश्वत हैं कि यह गैर-स्थानीय है—को नीचे धकेल दिया है। इसका अर्थ है कि अनिश्चितता की सीमा को दोनों ओर से सिकोड़ दिया गया है। उनके निष्कर्ष बताते हैं कि ये क्वांटम अवस्थाएं पहले की तुलना में शोर की एक व्यापक सीमा तक स्थानीय (शास्त्रीय नियमों द्वारा समझाने योग्य) बनी रहती हैं, लेकिन वे यह भी सिद्ध करते हैं कि वे कुछ पहले के, कम सटीक अनुमानों की तुलना में जल्दी गैर-स्थानीय हो जाती हैं। टीम ने इन नई सीमाओं के लिए सटीक, विश्लेषणात्मक संख्याएँ प्रदान कीं, जिससे उस अनुमान लगाने की आवश्यकता समाप्त हो गई जो अक्सर कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ आती है।

इन विशिष्ट संख्याओं के परे, शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि उनकी विधि न केवल दो पक्षों, बल्कि तीन या अधिक पक्षों वाले अधिक जटिल परिदृश्यों को संभालने के लिए भी शक्तिशाली है। उन्होंने अपनी तकनीक को तीन-क्यूबिट प्रणालियों पर लागू किया, विशेष रूप से GHZ और W अवस्थाओं के रूप में ज्ञात दो प्रसिद्ध प्रकार के एंटैंगल्ड स्टेट्स पर ध्यान केंद्रित किया। हालांकि उन्होंने दोनों के लिए नई सीमाएं स्थापित कीं, लेकिन ट्रिपार्टाइट (tripartite) GHZ और W अवस्थाओं के गैर-स्थानीयता थ्रेशोल्ड के बीच का सख्त अलगाव उनकी गणनाओं के आवश्यक संशोधनों के दौरान जीवित नहीं रहा, जैसा कि पेपर के एरटम (erratum) में स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है। यह विभिन्न प्रकार के क्वांटम एंटैंगलमेंट की लचीलापन को अलग करने की सूक्ष्मता को उजागर करता है। शोधकर्ताओं ने अपने निष्कर्षों को ग्रोथिएक स्थिरांक (Grothendieck constant) नामक एक प्रसिद्ध गणितीय स्थिरांक से भी जोड़ा, जो इस बात से संबंधित है कि विभिन्न आयामों में कुछ गणितीय असमानताएं कितनी अच्छी तरह से लागू होती हैं। क्वांटम थ्रेशोल्ड पर सीमाओं को कड़ा करके, उन्होंने प्रभावी रूप से इस स्थिरांक के लिए भी अधिक सटीक अनुमान प्रदान किया।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि उनके परिणाम केवल संख्यात्मक सन्निकटन (approximations) नहीं बल्कि कठोर प्रमाण हैं, टीम ने अपनी गणनाओं को पूरी तरह से विश्लेषणात्मक बनाने के लिए बहुत प्रयास किए। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार के एल्गोरिदम का उपयोग किया जो पुराने तरीकों में सामान्य "ज़िग-ज़ैग" व्यवहार को कम करता है, जहाँ समाधान बिना स्थिर हुए इधर-उधर डोलता रहता है। इसके बजाय, उनका बेहतर दृष्टिकोण इस दोलन को कम करता है और सीधे समाधान की ओर बढ़ता है, जिससे वे मापन के एक परिमित सेट का उपयोग करके एक स्थानीय मॉडल बना पाते हैं जिसे गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि वह मापन के अनंत सेट के लिए काम करेगा। उन्होंने अपना पूरा कोड एक सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी के रूप में जनता के लिए उपलब्ध कराया है, जिससे अन्य वैज्ञानिकों को इन उपकरणों का उपयोग करके आगे अन्वेषण करने के लिए आमंत्रित किया गया है। यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि इसने क्वांटम गैर-स्थानीयता के पूरे रहस्य को हल कर दिया है, लेकिन इसने अनिश्चितता की एक महत्वपूर्ण परत को हटा दिया है, जिससे इन विशिष्ट अवस्थाओं के लिए शास्त्रीय और क्वांटम दुनिया के बीच की सीमा कहाँ है, इसका एक स्पष्ट और अधिक सटीक मानचित्र प्रदान किया गया है।