Improved local models and new Bell inequalities via Frank-Wolfe algorithms

양자 역학이라는 기묘한 세계에서, 입자들은 인과관계에 대한 우리의 일상적인 경험을 거스르는 방식으로 서로 연결될 수 있습니다. 두 입자가 "얽혀(entangled)" 있을 때, 한 입자를 측정하는 것은 아무리 멀리 떨어져 있더라도 다른 입자에 대해 무언가를 즉각적으로 드러냅니다. 수십 년 동안 과학자들은 이 기묘한 연결이 자연의 근본적인 특징인지, 아니면 우리가 아직 발견하지 못한 숨겨진 고전적 규칙으로 설명될 수 있는 것인지를 두고 논쟁해 왔습니다. 이 질문은 두 가능성을 구분하기 위한 엄격한 시험 장치인 "벨 부등식(Bell inequalities)"의 탄생으로 이어졌습니다. 만약 이 테스트를 통과하면 입자들은 진정으로 비국소적인(nonlocal) 양자 방식으로 행동하는 것이고, 실패한다면 그들의 행동은 여전히 국소적인 고전 물리학으로 설명될 수 있습니다. 이 분야의 주요 난제 중 하나는 완벽하게 얽힌 쌍과 무작위 노이즈가 혼합된 형태인 "베르너 상태(Werner state)"라고 알려진 특정 유형의 혼합 양자 상태와 관련이 있습니다. 과학자들은 오랫동안 정확한 임계점을 알고 싶어 했습니다. 즉, 양자 연결이 너무 약해져서 고전적인 규칙에 의해 모방될 수 있을 정도로 노이즈가 얼마나 더해져야 하는가 하는 점입니다.

자우제 연구소 베를린(Zuse Institute Berlin)의 연구팀은 복잡한 수학적 문제를 해결하는 새롭고 매우 효율적인 방법을 개발함으로써 이 임계점에 대한 우리의 이해를 더욱 정교하게 만들었습니다. 그들은 특정 양자 상관관계가 "국소 모델(local model)"—즉, 두 사람이 서로 통신하지 않고도 따를 수 있는 사전 합의된 규칙들—로 설명될 수 있는지 여부를 결정하는 문제에 집중했습니다. 만약 그러한 모델이 존재한다면 그 시스템은 국소적이며, 그렇지 않다면 비국소적입니다. 연구진은 이 문제를 기하학적 풍경을 가로지르는 여정으로 취급하여 해결했습니다. 복잡하고 다각형인 도형 외부의 한 점에서 그 도형 자체까지 가는 가장 짧은 경로를 찾는 것을 상상해 보십시오. 연구팀은 일반적인 최적화 문제를 위해 설계된 고급 알고리즘을 사용하여 이전 방식보다 훨씬 빠르고 정확하게 이 풍경을 탐색했습니다. 이 공간을 이동하는 방식을 개선함으로써, 그들은 더 나은 국소 모델을 구축하고 더 정교한 비국소성 테스트를 도출할 수 있었습니다.

그들의 연구의 주요 결과는 두 큐비트 베르너 상태의 노이즈 임계값에 대해 알려진 상한선과 하한선 사이의 간격을 크게 좁혔다는 것입니다. 수년 동안 과학계는 실제 답을 알 수 없는 넓은 구간에 갇혀 있었습니다. 연구진의 새로운 계산은 시스템이 여전히 국소적이라고 확신할 수 있는 지점인 하한선을 그 어느 때보다 높게 끌어올리는 동시에, 시스템이 비국소적이라고 확신할 수 있는 지점인 상한선을 더 낮게 밀어냈습니다. 이는 불확실성의 범위가 양쪽에서 압착되었음을 의미합니다. 그들의 발견은 이러한 양자 상태들이 기존에 생각했던 것보다 더 넓은 범위의 노이즈에서도 국소적(고전적 규칙으로 설명 가능)으로 남아 있음을 시사하지만, 또한 일부 초기 연구의 덜 정밀한 추정치보다 더 빨리 비국소적으로 변한다는 것을 증명합니다. 연구진은 이러한 새로운 한계치에 대해 정확한 해석적 수치를 제공하여 컴퓨터 시뮬레이션에 흔히 수반되는 추측을 제거했습니다.

연구진은 자신들의 방법이 두 명의 당사자뿐만 아니라 세 명 이상의 당사자가 포함된 더 복합적인 시나리오도 처리할 수 있을 만큼 강력하다는 것을 입증했습니다. 그들은 이 기술을 GHZ와 W 상태로 알려진 두 가지 유명한 유형의 얽힘 상태를 구체적으로 살펴보며 세 큐비트 시스템에 적용했습니다. 그들은 두 상태 모두에 대해 새로운 경계값을 설정했지만, 계산 과정에서의 수정 사항으로 명시된 바와 같이, 삼자(tripartite) GHZ와 W 상태의 비국소성 임계값 사이의 엄격한 분리는 유지되지 않았습니다. 이는 서로 다른 양자 얽힘 유형의 회복력을 구별하는 작업의 미묘함을 강조합니다. 연구진은 또한 자신들의 발견을 특정 부등식이 서로 다른 차원에서 얼마나 잘 유지되는지와 관련된 그로텐디크 상수(Grothendieck constant)라는 유명한 수학적 상수와 연결했습니다. 양자 임계값의 경계를 좁힘으로써, 그들은 이 상수에 대해서도 더 정밀한 추정치를 효과적으로 제공했습니다.

결과가 단순한 수치적 근사치가 아니라 엄격한 증명임을 보장하기 위해, 팀은 계산 전체를 완전히 해석적으로 만들기 위해 많은 노력을 기울였습니다. 그들은 솔루션이 정착하지 못하고 앞뒤로 흔들리는 오래된 방식의 "지그재그(zig-zagging)" 현상을 완화하는 특정 유형의 알고리즘을 사용했습니다. 대신, 개선된 접근 방식은 이러한 진동을 줄이고 솔루션을 향해 더 직접적으로 이동하여, 무한한 가능한 측정 집합에 대해 수학적으로 작동한다고 증명할 수 있는 유한한 측정 집합을 사용하여 국소 모델을 구축할 수 있게 합니다. 그들은 전체 코드를 소프트웨어 라이브러리로 공개하여 다른 과학자들이 이 도구를 사용하여 더 깊이 탐구할 수 있도록 초대했습니다. 이 연구가 양자 비국소성의 모든 미스터리를 풀었다고 주장하는 것은 아니지만, 상당한 수준의 불확실성을 제거하여 이러한 특정 상태들에 대해 고전 세계와 양자 세계의 경계가 어디에 위치하는지에 대한 더 명확하고 정밀한 지도를 제공했습니다.