⚛️ general relativity

Mass and angular momentum for the Kerr black hole in TEGR and STEGR

यह शोध पत्र विशिष्ट "टर्निंग ऑफ" ग्रेविटी गेज का अनुप्रयोग करते हुए कोवेरियंट नोएदर चार्ज फॉर्मलिज्म के माध्यम से जनरल रिलेटिविटी के टेलीपैरल इक्विवेलेंट (TEGR) और सिमेट्रिक टेलीपैरल इक्वेलेंट (STEGR) के भीतर केर ब्लैक होल के द्रव्यमान और कोणीय संवेग की गणना करता है, जो अपेक्षित मानों को सफलतापूर्वक पुनर्प्राप्त करने के साथ-साथ घूमते हुए समाधानों के लिए आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत को संतुष्ट करने में सीमाओं को प्रकट करता है।

मूल लेखक: E. D. Emtsova, A. N. Petrov, A. V. Toporensky

प्रकाशित 2026-01-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: E. D. Emtsova, A. N. Petrov, A. V. Toporensky

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक घूमते हुए ब्लैक होल को मापना

कल्पना कीजिए कि एक ब्लैक होल केवल एक अंधेरा छेद नहीं है, बल्कि अंतरिक्ष में घूमता हुआ एक विशाल लट्टू (spinning top) है। इस विशिष्ट प्रकार के ब्लैक होल को केयर ब्लैक होल (Kerr black hole) कहा जाता है। इसके दो मुख्य "वजन" हैं जिन्हें हम मापना चाहते हैं:

द्रव्यमान (Mass): यह कितना भारी है (जैसे लट्टू का वजन)।
कोणीय संवेग (Angular Momentum): यह कितनी तेजी से और कितनी ताकत से घूम रहा है (जैसे लट्टू का स्पिन)।

मानक भौतिकी (General Relativity) में, इन संख्याओं की गणना करना कठिन है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण कोई ऐसा बल नहीं है जिसे आप सीधे तराजू पर रख सकें; यह स्वयं अंतरिक्ष का आकार है। यह शोध पत्र गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने के दो वैकल्पिक तरीकों की खोज करता है, जिन्हें TEGR और STEGR कहा जाता है। इन्हें एक ही परिदृश्य का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले दो अलग-अलग "भाषाओं" या "मानचित्रों" के रूप में समझें। लेखकों ने यह देखना चाहा कि क्या ये नए मानचित्र केयर ब्लैक होल के वजन और स्पिन को सटीक रूप से माप सकते हैं।

समस्या: "खाली" पृष्ठभूमि (The "Empty" Background)

इन नई सिद्धांतों (TEGR और STEG) में, गुरुत्वाकर्षण को एक "सपाट" पृष्ठभूमि का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, जैसे कि कागज की एक बिल्कुल चिकनी, खाली शीट। हालांकि, एक वास्तविक ब्लैक होल उस कागज को मोड़ देता है। गणित करने के लिए, लेखकों को यह तय करना होगा: यदि हम जादुई रूप से ब्लैक होल के गुरुत्वाकर्षण को बंद कर दें, तो वह कागज कैसा दिखेगा?

यहीं वे "गुरुत्वाकर्षण को बंद करने" (Turning Off Gravity) की अवधारणा का उपयोग करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक भारी बैकपैक का वजन मापने की कोशिश कर रहे हैं। इसे करने के लिए, आपको यह जानने की आवश्यकता है कि बैकपैक खाली होने पर तराजू क्या पढ़ता है।
ट्विस्ट: इन सिद्धांतों में, बैकपैक को "खाली" करने का केवल एक तरीका नहीं है। आप भारी किताबें (द्रव्यमान) निकाल सकते हैं लेकिन घूमते हुए पहिए (स्पिन) छोड़ सकते हैं, या आप सब कुछ निकाल सकते हैं।
"गेज" (Gauge) की अवधारणा: लेखक बैकपैक को खाली करने के इन विभिन्न तरीकों को "गेज" कहते हैं। यह एक अलग संदर्भ बिंदु चुनने जैसा है। यदि आप गलत संदर्भ बिंदु चुनते हैं, तो आपका माप गलत हो सकता है।

यात्रा: विभिन्न मानचित्रों का परीक्षण करना

लेखकों ने ब्लैक होल के द्रव्यमान और स्पिन के लिए सही उत्तर देने के लिए कई अलग-अलग "गेज" (खाली पृष्ठभूमि को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके) का परीक्षण किया।

1. पहला प्रयास (गेज I और I*)

उन्होंने गुरुत्वाकर्षण को बंद करने का एक सरल तरीका आजमाया।

द्रव्यमान के लिए परिणाम: उन्हें सही वजन ( $M$ ) प्राप्त हुआ।
स्पिन के लिए परिणाम: उन्हें गलत उत्तर मिला। यह एक घूमते हुए लट्टू को मापने और यह कहने जैसा था कि वह अपनी वास्तविक गति के 1/3 पर घूम रहा है।
निर्णय: यह गेज पूर्ण स्पिन को पकड़ने में विफल रहा।

2. दूसरा प्रयास (गेज II और II*)

उन्होंने "खाली" पृष्ठभूमि को सेट करने के लिए एक अधिक जटिल तरीका आजमाया।

द्रव्यमान के लिए परिणाम: सही! ( $M$ )
स्पिन के लिए परिणाम: सही! ($aM$)
निर्णय: सफलता! सही "गेज" चुनकर, वे दोनों TEGR और STEGR में ब्लैक होल के वजन और स्पिन दोनों को पूरी तरह से माप सके।

मुख्य निष्कर्ष: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि भले ही ये सिद्धांत जटिल हों, यदि आप सही "संदर्भ फ्रेम" (गेज) चुनते हैं, तो आप एक घूमते हुए ब्लैक होल के लिए बिल्कुल वही सही उत्तर प्राप्त कर सकते हैं जो मानक भौतिकी भविष्यवाणी करती है।

तुल्यता सिद्धांत परीक्षण: "मुक्त पतन" प्रयोग (The "Free Fall" Experiment)

लेखकों ने एक प्रसिद्ध नियम का परीक्षण करने का भी प्रयास किया जिसे तुल्यता सिद्धांत (Equivalence Principle) कहा जाता है।

नियम: यदि आप अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से गिर रहे हैं (जैसे कि कक्षा में एक अंतरिक्ष यात्री), तो आपको गुरुत्वाकर्षण महसूस नहीं होना चाहिए। आपको भारहीनता महसूस होनी चाहिए।
परीक्षण: उन्होंने ब्लैक होल में गिरने वाले पर्यवेक्षक द्वारा महसूस किए जाने वाले "बल" की गणना करने की कोशिश की। यदि सिद्धांत पूर्ण है, तो गणित को शून्य बल (भारहीनता) दिखाना चाहिए।
परिणाम: यह विफल रहा। भले ही उन्होंने गिरने वाले पर्यवेक्षकों के लिए विशेष निर्देशांकों (जिन्हें डोरन निर्देशांक कहा जाता है) का उपयोग किया, गणित ने एक गैर-शून्य बल दिखाया।
क्यों? उनके द्वारा गणना किया गया बल सीधे ब्लैक होल के स्पिन (पैरामीटर $a$ $a$ ) से जुड़ा था।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक भंवर (whirlpool) में गिर रहे हैं। भले ही आप स्वतंत्र रूप से गिर रहे हों, घूमता हुआ पानी आपको बगल में धकेलता है। लेखकों ने पाया कि इन सिद्धांतों में, ब्लैक होल का "स्पिन" एक बचा हुआ "धक्का" पैदा करता है जो वहां नहीं होना चाहिए था यदि तुल्यता सिद्धांत इस विशिष्ट सेटअप के लिए पूरी तरह से लागू होता।
सकारात्मक पक्ष: जब उन्होंने स्पिन को बंद कर दिया (ब्लैक होल को गैर-घूमते हुए, जैसे कि श्वाज़चिल्ड ब्लैक होल बनाना), तो बल गायब हो गया, और नियम काम करने लगा। इसने उन्हें STEGR में एक गैर-घूमते हुए ब्लैक होल का वर्णन करने का एक नया, सही तरीका खोजने में मदद की जिसे उन्होंने पहले नहीं खोजा था।

निष्कर्षों का साराhell (Summary of Conclusions)

सफलता: लेखकों ने सफलतापूर्वक दो वैकल्पिक गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों (TEGR और STEGR) का उपयोग करके एक घूमते हुए ब्लैक होल के लिए सही द्रव्यमान और कोणीय संवेग (स्पिन) की गणना की, बशर्ते उन्होंने सही "गेज" (संदर्भ फ्रेम) चुना हो।
विफलता: वे एक घूमते हुए ब्लैक होल के लिए "तुल्यता सिद्धांत" (गिरते समय भारहीनता महसूस करना) को पूरी तरह से मिलाने में सक्षम नहीं थे। स्पिन ने ही इस नियम को उनके गणनाओं में बाधित किया।
नई खोज: स्पिन वाली समस्या को ठीक करने की कोशिश करते समय, उन्होंने अनजाने में STEGR में एक गैर-घूमते हुए ब्लैक होल का वर्णन करने का एक नया, सही तरीका खोज लिया जो तुल्यता सिद्धांत को संतुष्ट करता है।

संक्षेप में: उन्होंने इन नए सिद्धांतों में घूमते हुए ब्लैक होल के वजन और स्पिन को मापने के लिए सही "रूलर" (पैमाना) ढूंढ लिया, लेकिन उन्होंने यह भी पाया कि स्पिन इन विशिष्ट गणितीय ढांचों में "भारहीन गिरने" के नियम को थोड़ा अस्थिर बना देता है।

तकनीकी सारांश: TEGR और STEGR में केर ब्लैक होल के लिए द्रव्यमान और कोणीय संवेग

समस्या विवरण
यह शोध पत्र TEGR (टेलीपैरेल इक्विवेलेंट ऑफ जनरल रिलेटिविटी) और STEGR (सिमेट्रिक टेलीपैरेल इक्विवेलेंट ऑफ जनरल रिलेटिविटी) के ढांचों के भीतर केर ब्लैक होल समाधान के लिए कोवेरिएंट (covariant) और लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट (Lorentz-invariant) संरक्षित मात्राओं (विशेष रूप से द्रव्यमान और कोणीय संवेग) के निर्माण की चुनौती को संबोधित करता है। यद्यपि ये सिद्धांत GR (जनरल रिलेटिविटी) के साथ गतिशील रूप से समान हैं, वे गैर-गतिकीय कनेक्शनों (TEGR में जड़त्वीय स्पिन कनेक्शन और STEGR में सममित टेलीपैरेल कनेक्शन) का उपयोग करते हैं जो स्वयं क्षेत्र समीकरणों (field equations) द्वारा निर्धारित नहीं होते हैं। साहित्य में एक महत्वपूर्ण अंतराल मौजूद है जहाँ केर समाधान के अनुप्रयोग के संबंध में पूर्णतः कोवेरिएंट औपचारिकताओं पर पिछले कार्य अक्सर गैर-कोवेरिएंट सूचियों पर निर्भर रहे या कोआर्डिनेट कोवेरिएंस, स्थानीय लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस और सुपरिभाषित वैश्विक आवेशों की आवश्यकताओं को एक साथ पूरा करने में विफल रहे। इसके अलावा, इन टेलीपैरेल ढांचों में घूमते हुए ब्लैक होल के लिए आइंस्टीन तुल्यता सिद्धांत (जहाँ एक मुक्त रूप से गिरते हुए प्रेक्षक के लिए ऊर्जा-संवेग धारा शून्य हो जाती है) को सत्यापित करने के प्रयास अनिर्णायक या असफल रहे थे।

कार्यप्रणाली
लेखक नोथर के प्रमेय (Noether's theorem) पर आधारित एक हाल ही में विकसित पद्धति लागू करते हैं, जो संरक्षित धाराओं, सुपरपोटेंशियल और आवेशों के लिए स्पेसटाइम-कोवेरिएंट और लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट अभिव्यक्तियों का उपयोग करती है। कार्यप्रणाली में कई प्रमुख चरण शामिल हैं:

औपचारिकता का अनुप्रयोग: लेखक एक अनिश्चित विस्थापन वेक्टर $\xi$ के साथ नोथर प्रक्रिया का उपयोग करते हैं। $\xi$ को एक टाइमलाइक किलिंग वेक्टर के रूप में चुनकर, वे कुल ऊर्जा (द्रव्यमान) की गणना करते हैं; एक घूमते हुए स्पेसलाइक किलिंग वेक्टर को चुनकर, वे कोणीय संवेग की गणना करते हैं।
"गुरुत्वाकर्षण को बंद करके" कनेक्शन को परिभाषित करना: चूंकि टेलीपैरेल कनेक्शन (TEGR में इंर्शियल स्पिन कनेक्शन, ISC; STEGR में सिमेट्रिक टेलीपैरेल कनेक्शन, STC) बाहरी संरचनाएं हैं, इसलिए लेखक "टर्निंग ऑफ" (turning off) गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत का उपयोग करते हैं। इसमें शामिल है:
- एक विशिष्ट टेट्राड (TEGR के लिए) या समन्वय प्रणाली (STEGR के लिए) का चयन करना।
- संबंधित लेवी-सिविटा कनेक्शन (या वक्रता) की गणना करना।
- समाधान के मापदंडों (द्रव्यमान $M$ और स्पिन पैरामीटर $a$ ) के लिए समाधान करना ताकि वक्रता शून्य हो जाए (जो "कोई गुरुत्वाकर्षण नहीं" का प्रतिनिधित्व करता है)।
- पूर्ण समाधान के लिए फ्लैट टेलीपैरेल कनेक्शन को परिभाषित करने के लिए इन पैरामीटर मानों का उपयोग करना।
गेज विश्लेषण: लेखक "गेज" की अवधारणा की जांच करते हैं, जिन्हें (टेट्राड/कनेक्शन या कोआर्डिनेट/कनेक्शन के युग्मों के) समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया गया है। वे गुरुत्वाकर्षण को "बंद करने" के दो अलग-अलग तरीकों का परीक्षण करते हैं:
- $M \to 0$ (घूर्णन $a$ को बनाए रखते हुए) की सीमा।
- $M \to 0$ और $a \to 0$ (श्वार्ज़चाइल्ड सीमा तक कम करना) की सीमा।
  वे यह निर्धारित करने के लिए TEGR में विभिन्न टेट्राड और STEGR में विभिन्न समन्वय प्रणालियों पर इन विधियों को लागू करते हैं कि क्या विशिष्ट गेज भौतिक रूप से सार्थक परिणाम देते हैं।
तुल्यता सिद्धांत परीक्षण: लेखक दोनों बॉयएर-लिंडक्विस्ट (Boyer-Lindquist) और डोरन (Doran) निर्देशांकों में (उपयुक्त वैक्टरों का उपयोग करके) एक मुक्त रूप से गिरते हुए प्रेक्षक के लिए नोथर धारा (Noether current) की गणना करके तुल्यता सिद्धांत का परीक्षण करते हैं। सिद्धांत को संतुष्ट करने के लिए एक शून्य धारा आवश्यक है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

TEGR में संरक्षित मात्राएँ:
- लेखकों ने चार अलग-अलग गेज (टेट्राड और ISCs के संयोजन) की पहचान की।
- दो गेज (गेज I और I*) ने सही ब्लैक होल द्रव्यमान ( $M$ ) तो दिया लेकिन सही कोणीय संवेग को पुनरुत्पादित करने में विफल रहे, जिसके परिणामस्वरूप $aM/3$ प्राप्त हुआ।
- अन्य दो गेज (गेज II और II*), जो अधिक जटिल टेट्राड संरचना का उपयोग करते हैं, सफलतापूर्वक दोनों सही द्रव्यमान ( $M$ ) और सही कोणीय संवेग ($aM$) प्रदान करते हैं।
- यह दर्शाता है कि केर ब्लैक होल के सही कोणीय संवेग को पुनः प्राप्त करने के लिए TEGR में गेज का चयन महत्वपूर्ण है।
STEGR में संरक्षित मात्राएँ:
- गुरुत्वाकर्षण को बंद करने के विभिन्न तरीकों का उपयोग करके दो अलग-अलग गेज (गेज SI और SI*) का निर्माण किया गया।
- दोनों गेजों ने सफलतापूर्वक सही द्रव्यमान ( $M$ ) और कोणीय संवेग ($aM$) प्रदान किया।
- लेखक नोट करते हैं कि STEGR में कुल सुपरपोटेंशियल में कोमार सुपरपोटेंशियल (जो अकेले आधा द्रव्यमान देता है, जिसे "कोमार विसंगति" के रूप में जाना जाता है) और एक डाइवर्जेंस टर्म (divergence term) शामिल है। उनकी गणना में, डाइवर्जेंस टर्म कोमार टर्म के बराबर योगदान देता है, जो द्रव्यमान को अपेक्षित मान $M$ तक सुधारता है।
तुल्यता सिद्धांत विश्लेषण:
- लेखकों ने केर समाधान के लिए एक मुक्त रूप से गिरते हुए प्रेक्षक के लिए नोथर धारा को शून्य करने वाले गेज को खोजने का प्रयास किया।
- बॉयएर-लिंडक्विस्ट और डोरन निर्देशांकों (दूसरे को इसलिए चुना गया क्योंकि एक मुक्त रूप से गिरते हुए प्रेक्षक का उचित समय समन्वय समय के साथ मेल खाता है) दोनों का उपयोग करते हुए, गणना की गई धाराएं TEGR और STEGR दोनों में गैर-शून्य थीं।
- गैर-शून्य धारा घटक $a$ के समानुपाती पाए गए।
- श्वार्ज़चाइल्ड सीमा: जब $a \to 0$ की सीमा ली जाती है, तो धारा दोनों सिद्धांतों में शून्य हो जाती है, जिससे गैर-घूर्णन श्वार्ज़चाइल्ड समाधान के लिए तुल्यता सिद्धांत की पुनर्प्राप्ति होती है।
- STEGR में नवीनता: जबकि लेखक पहले STEGR में लेमेट्रे (Lemaitre) निर्देशांकों का उपयोग करके श्वार्ज़चाइल्ड समाधान के लिए एक सुपरिभाषित गेज खोजने में विफल रहे थे, इस अध्ययन ने सफलतापूर्वक एक सुपरिभाषित गेज (गेज SII**) की पहचान की जो केर समाधान की सीमा से प्राप्त हुआ है और श्वार्ज़चाइल्ड मामले के लिए तुल्यता सिद्धांत को संतुष्ट करता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि उसने एक पूर्णतः कोवेरिएंट और इनवेरिएंट फॉर्मलिज्म का उपयोग करके केर ब्लैक होल के लिए दोनों TEGR और STEGR में द्रव्यमान और कोणीय संवेग की गणना को सफलतापूर्वक हल किया है। प्राथमिक महत्व इस बात में निहित है कि यद्यपि इन सिद्धांतों के क्षेत्र समीकरण GR के समान हैं, लेकिन संरक्षित मात्राओं के निर्माण के लिए "गेज" (विशेष रूप से गैर-गतिकीय कनेक्शनों) का सावधानीपूर्वक चयन आवश्यक है। लेखक रेखांकित करते हैं कि:

TEGR में सही कोणीय संवेग सभी वैध गेजों द्वारा गारंटीकृत नहीं है; इसके लिए विशिष्ट टेट्राड/कनेक्शन संयोजनों की आवश्यकता होती है।
STEGR सुपरपोटेंशियल में डाइवर्जेंस टर्म को शामिल करने के माध्यम से स्वाभाविक रूप से "कोमार विसंगति" को हल करता है।
घूमते हुए केर समाधान के लिए तुल्यता सिद्धांत को संतुष्ट करने में विफलता (मुक्त पतन के लिए गैर-शून्य धारा) को कोणीय संवेग ( $a$ ) की उपस्थिति के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है, क्योंकि $a \to 0$ होने पर सिद्धांत बहाल हो जाता है।
केर विश्लेषण के उपोत्पाद के रूप में श्वार्ज़चाइल्ड समाधान के लिए एक नया, सुपरिभाषित गेज खोजा गया था, जो पहले लेखकों से छूट गया था।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि घूमते हुए केर समाधान के लिए तुल्यता सिद्धांत के अनुरूप गेज खोजने के उनके प्रयास दोनों सिद्धांतों में असफल रहे, जो यह सुझाव देता है कि घूर्णन पैरामीटर ऐसी जटिलताएं पेश करता है जो इन विशिष्ट टेलीपैरेल फॉर्मुलेशन में मुक्त रूप से गिरते प्रेक्षकों के लिए धारा को शून्य होने से रोकती है।